Алгебраические структуры

Цель работы: Ознакомиться с алгебраическими структурами, с понятиями групп, циклические группы, кольца.

Порядок выполнения работы:

Практическая работа рассчитана на 1 час аудиторных занятий, включающих в себя следующее:

1. Изучить:

- Алгебраические структуры.

- Группы. Циклические группы. Группы подстановок.

- Кольца и поля

2. Решить упражнения к данному разделу. Выполнить каждый пункт упражнения согласно варианту. Вариант определяется как сумма двух последних цифр зачётной книжки, если количество заданий в пункте упражнения меньше, чем полученная цифра, то эта цифра делится пополам (берётся её целая часть).

3. Оформить отчет о проделанной работе в соответствии с требованиями.

4. Проработать контрольные задания СРС.

Требования к отчету:

Отчет по практической работе распечатывается в виде твердой копии и состоит из следующих пунктов:

Вариант индивидуального задания;

Результаты полученных решений заданий;

Ответы на контрольные задания СРС.

Методические указания

Алгебраической структурой называется множество вместе с операциями (замкнутыми), определенными на этом множестве. К каждой структуре применимо понятие подструктуры.

Полугруппой называется множество S с бинарной операцией, которая удовлетворяет только требованию ассоциативности

Ås_i Å (s_j Å s_k) = (s_i Å s_j) Å s_k, где s_i, s_j, s_k Î S.

Моноидом называют множество M вместе с бинарной операцией такой, что

I) Å ассоциативна.

II) существует m₀ Î M такое, что

m₀ Å m_i = m_i m_o для всех m_i Î M;

m₀ называют единицей по отношению к .

Полугруппы и моноиды имеют большое значение при обработке строк символов в теории языковых систем.

На A^* можно определить операцию конкатенации Ä таким образом, что если a_i, a_j Î A, то a_i Ä a_j = a_ia_j, т. е., результатом операции является строка, последовательно записанных символов. Каждая строка имеет конечную длину ½a_i½, равную количеству символов в строке. Пустая строка – это строка в которой нет символов. Пустая строка обозначается символом L (LÎ A^*, ½L½ = 0).

Первый символ строки называется ­головой строки, все оставшиеся символы, следующие за головой, называются – хвостом строки.

Третьей алгебраической структурой с одной определяющей операцией является группа.

Класс G объектов g₀, g₁,…, g_i,… называется группой, если определена бинарная операция, которая каждой паре объектов g_i, g_j Î G ставит в соответствие некоторый объект g_i Ä g_j так, что

1) g_i Ä g_j Î G (замкнутость по отношению к определяющей операции);

2) g_i Ä (g_j Ä g_k) = (g_i Ä g_j) Ä g_k (ассоциативный закон);

3) G содержит левую единицу g₀ такую, что для каждого объекта g_i Î G выполняется следующее соотношение g₀ Ä g_i = g_i;

4) Для каждого объекта g_i Î G в G существует (левый) обратный объект g_i^-1 такой, что g_i^-1 Ä g_i = g₀.

Два объекта g_i, g_j Î G – перестановочны, если выполняется условие g_i g_j = g_j Ä g_i. Если все объекты g_i, g_j Î G (i = 0, 1, 2,…; j = 0, 1, 2,…) – перестановочны, то определяющая операция называется коммутативной, а группа G – коммутативной или абелевой группой. Группа G, содержащая конечное число g объектов, называется конечной группой (группой порядка g). В противном случае группа называется бесконечной. Бесконечная группа G может быть счетной и несчетной.

Каждая группа имеет единственную левую и единственную правую единицы и эти единицы равны (g₀ Ä g_i = g_i Ä g₀ = g_i). Каждый объект имеет единственный левый и единственный правый обратный объект, и эти объекты равны ( g_i^-1 Ä g_i = g_i Ä g_i^-1 = g₀). Из этого следуют законы сокращения:

из g_i Ä g_j = g_i Ä g_k следует g_j = g_k;

из g_j Ä g_i = g_k Ä g_i следует g_j = g_k.

Группа содержит единственное решение x любого уравнения g_i Ä x = g_j или x Ä g_i = g_j, т. е., в группе возможны однозначно определенные правая и левая обратные операции.

Подмножество G₁ множества G называется подгруппой, если G₁ является группой в смысле определяющей операции группы G. Это справедливо в том и только в том случае, если

множество G₁ содержит все произведения принадлежащих ему объектов и все объекты, обратные его объектам;

для любой пары объектов g_i, g_j Î G₁ множество G₁ содержит и произведения g_i Ä g­_j^-1.

Пересечени­е двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G. Сама группа G и g₀ называются несобственными подгруппами группы G. Все остальные подгруппы – собственные. Если группа G – группа конечного порядка g, то порядок g¹ любой ее подгруппы G₁ является делителем порядка группы (теорема Лагранжа), а число g/g¹ называется индексом группы G₁ (в группе G).

Целые числа Z образуют аддитивную группу. Пусть H – подгруппа в Z. Если H нетривиальна, то пусть a – ее наименьший положительный элемент. При таких условиях H состоит из всех элементов вида n Ä a, где n Î Z.

Группа G – циклическая, если существует такой элемент a Î G, что всякий элемент x Î G может быть записан в виде x = aⁿ, где n Î Z (отображение f : Z ® G, определяемое выражением f(n) = aⁿ, сюръективно). Элемент a называется образующей группы G.

Кольцом называется множество R с двумя определенными на нем бинарными операциями Å (сложение) и Ä (умножение) (R, Ä, Å) такими, что для a, b, c Î R:

Ä - ассоциативна, a Ä (b Ä c) = (a Ä b) Ä c;

Å - ассоциативна, a Å (b Å c) = (a Å b) Å c;

Å - коммутативна, a Å b = b Å a;

Å имеет единицу, которая называется нулем и обозначается 0, a Å 0 = 0 Å a = a;

Ä имеет единицу, которая обозначается 1, a Ä 1 = 1 Ä a = a;

относительно операции Å существуют обратные элементы, a Å (‑a) = (‑a) Å a = 0;

Ä дистрибутивна по отношению к Å, a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c, (b Å c) Ä a = b Ä a Å c Ä a.

Кольцо коммутативно, если умножение коммутативно, и является кольцом с единицей, если существует единица относительно умножения.

В кольце (R, Ä, Å) нулевые элементы x и y называются делителями нуля, если их произведение равно нулю. В случае, когда R не является коммутативным кольцом, x – левый делитель нуля, а y – правый делитель нуля.

Теорема. В кольце (R, Ä, Å) имеет место условие (a Ä b = a Ä c) ® (b = c) тогда, когда R не содержит делителей нуля

Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей, не имеющее делителей нуля – (D, Ä, Å) такое, что:

а) сложение ассоциативно;

б) сложение коммутативно;

в) существует единица по сложению, обозначаемая 0;

г) существует обратный элемент по сложению (с префиксом «-»);

д) умножение ассоциативно;

е) умножение коммутативно;

ж) существует единица по умножению, обозначаемая 1;

з) умножение дистрибутивно по отношению к сложению;

и) если x ¹ 0 и x Ä y = x Ä z, то y = z.

Полем называется множество F с двумя определенными на нем операциями – сложением Å и умножением Ä [обозначается как (F, Ä, Å)], которые удовлетворяют следующим девяти свойствам:

1. Сложение коммутативно:

x Å y = y Å x, "(x, y) Î F.

2. Сложение ассоциативно:

x Å (y Å z) = (x Å y) Å z, "(x, y, z) Î F.

3. Существует элемент в F, который обычно обозначается символом 0, такой, что

x Å 0 = x, "x Î F,

0 называется аддитивной единицей или просто нулем.

4. Каждому элементу x Î F соответствует элемент y Î F, такой, что

x Å y = 0;

y называется аддитивным обратным элементом к x и обозначается через -x.

5. Умножение коммутативно:

x Ä y = y Ä x, "(x, y) Î F.

6. Умножение ассоциативно:

x Ä (y Ä z) = (x Ä y) Ä z, "(x, y, z) Î F.

7. Существует элемент в F, который обычно обозначается символом I, такой, что I ¹ 0 и

x Ä I = x, "x Î F,

I называют мультипликативной единицей или просто единицей.

8. Каждому элементу x Î F\{0} соответствует элемент y Î F такой, что

x Ä y = I,

y называется мультивным обратным элементом к x и обозначается через x^-1.

9. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

x Ä (y Å z) = x Ä y Å x Ä z, "(x, y, z) Î F.

Упражнения для выполнения:

Составить алгебраическую структуру, множество M вместе с бинарной операцией такой, что Å ассоциативна и множество R с двумя определенными на нем бинарными операциями Å (сложение) и Ä (умножение) (R, Ä, Å) такими, что для a, b, c Î R.

Контрольные задания для СРС

Что называется алгебраической структурой?

Дайте определение группы, подгруппы.

Дайте определение кольца и поля.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 278; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!