Понятие предела последовательности

Чорноморський державний університет ім. Петра Могили

Кафедра прикладної та вищої математики

Методичні вказівки до індивідуального завдання № 1.1.2

З математичного аналізу

Тема: Границі числових послідовностей та границі функції.

Викладач: к.ф.-м.н. Курікша О.В.

Понятие предела последовательности

Постановка задачи. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения.

1. По определению число называется пределом числовой последовательности , если .
Это означает, что неравенство имеет решение .

2. Находим, при каких справедливо неравенство

,

т.е. решаем это неравенство относительно .

3. Если решение имеет вид , то – предел числовой последовательности .

Замечание. Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число не является пределом последовательности.

Задача 1. Доказать, что (указать ).

Покажем, что для любого существует такой номер , что для всех .

.

.

Из последнего неравенства следует, что можно выбрать (квадратные скобки означают целую часть) и при любых будет выполняться неравенство . Значит, по определению предела последовательности

.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

Здесь – многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ) и – многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ).

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ( ).

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ( ).

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание. Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи.Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ( ).

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание.Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 330; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!