Математическое моделирование и постановка задач оптимизации

Прежде чем приступить к рассмотрению математического моделирования и постановке задач оптимизации, определимся с некоторыми основными понятиями теории исследования операций и принятия оптимальных решений.

Под операцией понимается любое мероприятие (или система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению поставленной цели.

Примеры операций:

1. Система мероприятий направленная на повышение качества продукции.

2. Размещение заказов в гостиничном комплексе.

3. Система транспортировки грузов, обеспечивающая надежную их доставку в пункты назначения.

4. Разработка стратегии изыскания рыночных ниш в сфере потребления продукта.

Операция всегда является управляемым мероприятием, т.е. от нас зависит выбрать тем или иным способом выделенные параметры, характеризующие способ ее организации. Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров мы будем называть решением.

Решения могут быть удачными и не удачными, рациональными и нерациональными. Оптимальными называются такие решения, которые по тем или иным соображениям является предпочтительнее других. Таким образом, основная задача исследования операций – предварительное количественное обоснование оптимальных решений. Заметим, что само принятие решения выходит за рамки исследования операции и относится к компетенции лица или органа (соответствующих директоров), которым предоставлено право окончательного выбора. При этом выборе ответственные лица могут учитывать кроме количественных оценок, еще ряд соображений, которые не были учтены при расчете.

Для применения количественных методов исследования в любой области требуется построить математическую модель явления или процесса. При построении математической модели явление, каким - то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое число важнейших, и полученная схема описывается с помощью определенного математического аппарата.

Необходимо заметить, что, несмотря на огромное количество разработанных к настоящему времени моделей, общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из цели и задачи исследований, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с какой могут быть известны исходные данные. Тем не менее, математическое моделирование для исследования, например, характеристик функционирования системы управления можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных и т. п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

- аналитическим, когда стремятся получить в общем, виде явные зависимости для искомых характеристик;

- численным, когда, не имея возможности решить уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;

- качественным, когда можно найти лишь некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

При имитационном моделировании, по сравнению с аналитическим, имеется возможность решения более сложных задач, содержащих, прежде всего, случайные воздействия. Для этих целей широко применяется так называемый метод статиспытаний или метод Монте-Карло. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем (экономических), когда требуется создать систему с заданными характеристиками, при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

И, наконец, комбинированное (объединяющее первые два) моделирование при анализе и синтезе систем управления позволяет объединить их достоинства. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и там, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных строятся имитационные модели.

Требования к модели очень часто бывают противоречивыми. С одной стороны, она должна быть достаточно полной, т.е. должны быть учтены все важные факторы, от которых зависит исход операции. С другой – модель должна быть достаточно простой для того, чтобы можно было с минимальными затратами установить обозримые зависимости между входящими в нее параметрами. Таким образом, математическое моделирование неразрывно связано с решением оптимизационных задач, вызванных выбором наиболее рациональной (с позиций поставленных целей) структуры моделей управления.

Для начала рассмотрим постановку задачи отыскания экстремума в детерминированной постановке.

Пусть имеется некоторая операция, т.е. управляемое мероприятие, на исход которого мы можем в какой-то мере повлиять, выбирая тем или иным способом зависящие от нас параметры. Эффективность этой операции характеризуется численным критерием или показателем W, который требуется обратить в max (или min). Считаем также, что математическая модель операции построена, т.е. она позволяет вычислить показатель эффективности W при любом принято решении и любой совокупности условий, в которых выполняется операция.

Рассмотрим сначала наиболее простой случай: все факторы, от которых зависит успех операции, т.е. наиболее рациональный вариант, делятся на две группы:

- заданные известные факторы (или условия проведения операции) a₁, a₂, …..a_n, на которые мы влиять не можем;

- зависящие от нас факторы x₁, x₂,….x_n, которые мы можем выбирать в известных пределах по своему усмотрению.

Этот случай, в котором факторы, влияющие на исход операции, либо заранее известны, либо зависят от нас, будем называть детерминированными. Под заданными условиями a_1, a_2,….. могут пониматься не только обычные числа, но и функции, в частности ограничения, наложенные на элементы решения. Аналогично обстоит дело и с элементами x₁, x₂,…

Показатель эффективности W зависит от обеих групп факторов, т.е. W=W(a_1,a₂,…;x₁,x₂,…) (1)

При построенной математической модели зависимость считается известной и для любых a_I и x_i мы можем найти W. Тогда задачу исследования операции можно математически сформулировать так:

при заданных условиях a₁, a₂,… найти такие элементы решения x₁, x₂,…, которые обращают показатель W в, например, максимум. Это типично математическая задача, относящаяся к классу вариационных задач. Методы решения таких задач хорошо известны, простейшие из них – методы отыскания max и min. Для отыскания экстремума функции W достаточно продифференцировать ее по аргументам, приравнять производные к нулю и решить полученную систему уравнений.

Приведенный выше простейший случай не является типичным в практике экономических расчетов. Наиболее широко распространенной является ситуация, когда не все условия, в которых будет осуществляться операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности. Например, успех проводимых мероприятий может зависеть от метеорологических условий или от колебаний спроса и предложения туристских услуг, обусловленных влиянием конкурентов и других факторов. В этом случае эффективность операции будет уже зависеть не от двух, а трех категорий факторов, т.е.

W=W(a₁,a₂,…,Y₁,Y₂,…;x₁,x₂,…) (2)

где Y_i – факторы, которые нам неизвестны, а значит неизвестен и зависящий от них показатель эффективности. Тем не менее, задача по выбору W перед нами стоит и формулировка ее выглядит следующим образом:

при заданных условиях a₁, a₂,…., с учетом неизвестных факторов Y₁,Y₂,… найти такие элементы решения х₁, х₂,…, которые по возможности обращали бы в максимум показатель эффективности W. Наличие неизвестных факторов переводит нашу задачу в разряд задач о выборе решения в условиях неопределенности. Наиболее простой и благоприятной для расчетов является ситуация, когда неизвестные факторы Y₁, Y₂,… представляют случайные величины (или функции), о которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем гостиничный комплекс, стремясь оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на отдых туристов. Заранее не известны ни группа прибывающих клиентов, ни их количество, ни их социальное положение, а значит и потребности. Все эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых может быть определен на основе имеющихся данных обычными методами математической статистики.

В этом случае для решения поставленной задачи можно воспользоваться следующими двумя приемами.

Первый из них сводится к тому, что неопределенная вероятностная картина приближенно заменяется детерминированной. Для этого все случайные факторы заменяются неслучайными (как правило, их математическими ожиданиями). Этот прием применим в ориентировочных расчетах, когда интервал случайных изменений величин Y_i относительно мал.

Второй прием ("оптимизация в среднем") более сложный, когда случайность величин Y_i весьма существенна и замена каждой из них может привести к большим ошибкам.

Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эффективности W существенно зависит от случайных факторов Y_i; допустим, что нам известно распределение этих факторов, т.е. плотность распределения f(y_i). Предположим, что операция выполняется многократно, причем условия Y_i меняются каждый раз случайным образом. Какое решение x_i при этом следует выбрать?

Очевидно, что в среднем операция будет наиболее эффективна тогда, когда математическое ожидание показателя эффективности W будет максимально. Таким образом нужно выбрать такое решение x_i, при котором обращается в max W, т.е.

W= M (W) = òò….òW (a₁, a₂, …;y₁, y₂,….; x₁,x₂….) · f ( y₁, y₂,… ) dy₁dy₂.. (3)

Такую процедуру в математике называют "оптимизацией в среднем". А как же быть с элементами неопределенности? Конечно, в какой-то мере он сохраняется. Однако при многократном осуществлении операции эти различия в среднем сглаживаются. В случае однократного моделирования операции, т.е. когда остается некоторая неопределенность, считается, что "оптимизация в среднем" все же лучше, чем выбор решения без всяких оснований. Более того, многократное воспроизведение операционных процедур приводит все же к желаемому результату, чем в случае, если бы мы не пользовались расчетом.

И, наконец, в практике возможны и случаи неопределенности, когда неизвестные факторы Y_i не могут быть изучены или описаны с помощью статистических методов. В подобных случаях вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с дальнейшей "оптимизацией в среднем", рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий и промоделировать операцию при этих условиях. Конечная цель моделирования остается прежней – оценка критерия эффективности. При этом задача оптимизации приобретает новые методологические особенности.

Рассмотрим случай, когда эффективность операции W зависит, кроме заданных условий a₁ и элементов решения x_i еще и от ряда неизвестных факторов Y_i нестатистической природы, о которых можно делать кое-какие предположения. Для решения подобной задачи целесообразно зафиксировать мысленно параметры и придать им вполне определенные значения, т.е. Y₁=y₁, Y₂=y₂…., переведя тем самым их в категорию заданных условий a_i. Для этих условий задача в принципе решаема с позиций оптимизации этих решений. Такой способ получил название локально-оптимального, возможности которого имеют ограниченную ценность.

В завершении постановки задач оптимизации и возможности способов их решения сделаем одно принципиальное замечание.

При обосновании решений в условиях неопределенности, какие бы меры мы не принимали, элемент неопределенности все равно остается. Поэтому нет смысла предъявлять к точности таких решений слишком высокие требования. Вместо того чтобы после скрупулезных расчетов, однозначно указать одно единственное решение, всегда лучше выделить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже других. В пределах этой области могут произвести свой окончательный выбор ответственные за него лица.

1.2. Моделирование экономических задач планирования и управления

Введем сначала некоторые понятия и определения. Задачи, в которых отыскивается max или min некоторой функции при наличии ограничений на переменные, объединяются общим названием - задачи математического программирования. Функция, экстремум которой отыскивается, называется целевой функцией. Фигурирующие в математической модели ограничения представляют собой систему соотношений, сужающую область допустимых значений, так называемых управляемых переменных, т.е. тех величин, которые подлежат оптимизации. Выраженные через управляемые переменные целевая функция и ограничения и составляют математическую модель задачи оптимизации. Всякий набор значений переменных, удовлетворяющих ограничениям, определяет допустимый план, а тот из них, на котором достигается экстремум (он может оказаться не единственным), определяет оптимальный план.

Рассмотрим некоторые математические модели задач планирования и управления, которые сводятся к задачам математического программирования.

1. Задача об оптимальном плане выпуска продукции

Эта задача возникает при составлении планов выпуска продукции и поэтому имеет важное практическое значение.

Пусть номенклатура выпускаемой фирмой тур. продукции состоит из n наименований. Обозначим через a_ij затраты I-го вида ресурсов (I=1,2,…., m) на производство единицы продукции j-го вида (j=1,2,….n), через b_i-полные объемы имеющихся ресурсов (I-1, 2,,…m), c_i-прибыль, получаемую фирмой при изготовлении и реализации единица I-го вида тур продукта, а через а_i и A_i—соответственно, наперед задаваемые нижнюю и верхнюю границы по объему выпуска I-го вида продукции.

Требуется составить такой план выпуска продукции, который был бы технологически осуществим по имеющимся ресурсам всех видов, удовлетворял бы задаваемым ограничениям на выпуски каждого вида продукции и в тоже время приносил бы наибольшую общую прибыль предприятию.

Математическая модель задачи состоит в следующем: найти такой план выпуска продукции x=(x_1, x₂, x₃,…x₄), чтобы выполнялись неравенства.

1) а_ij x_j b_i , I=1,2,…m (технологические ограничения)

2) a_j x_j A_j , j=1, n (ограничения на объемы отдельных видов выпускаемой продукции) и при этом достигался бы

Max c_i x_j (общая прибыль от производства и реализации продукции).

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 226; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!