Вычисление моментов инерции сложной фигуры

При вычислении моментов инерции сложных сечений последние можно разбить на отдельные простые фигуры, моменты инерции и положение центров тяжести, которых известны.

Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

Чтобы определить положение главных центральных осей и величин главных центральных моментов инерции, можно проводить расчет в следующем порядке.

1. Разбиваем фигуру на n простых частей. При этом следует обратить внимание на части с “отрицательной” площадью (отверстия). Проводим через центры тяжести каждой фигуры центральные оси Х_i, У_i для каждой части. С помощью справочных таблиц находим площади, и моменты инерции каждой части относительно собственных центральных осей.

2. Определяем положение центра тяжести фигуры. Для этого выбираем вспомогательную систему координат для определения положения центра тяжести всего сечения. В качестве таких осей удобно взять центральные оси одной из частей сечения.

Координаты центра тяжести всей фигуры в выбранной системе координат определяем по формулам

x_c = ;

где S_x, S_y – статические моменты фигуры;

F – площадь всей фигуры;

F_i – площадь частей;

n – число частей, на которые разбита фигура;

x_i, y_i – координаты центров тяжести частей в выбранной системе координат.

Вычислив координаты центра тяжести, следует указать эту точку С (x_c, у_с) на чертеже фигуры.

3. Определим моменты инерции фигуры относительно произвольных центральных осей. Для этого через точку С проводим систему центральных осей X_c, Y_с. Обычно это горизонтальная и вертикальная оси. Поскольку моменты инерции относительно своих центральных осей известны (см. п. 1), то, используя формулы параллельного переноса осей, вычисляем моменты инерции всей фигуры. Предварительно следует определить координаты центров тяжести С_i (a_i, b_i) каждой части в системе координат X_c, Y_с, которые могут быть и положительными и отрицательными величинами. Таким образом, получаем значения

J_xc = ,

J_yc = ,

J_xcyc = ,

где - моменты инерции каждой части относительно осей X_с, Y_с.

4. Находим положение главных центральных осей фигуры. Для этого по одной из формул определяем угол a₀, на который следует повернуть центральные оси X_с, Y_с, чтобы они стали и главными X₀, Y₀.

Например, tg × 2 a₀ = - ,

и наносим этот угол на чертеж.

5. Определим главные центральные моменты инерции всей фигуры.

Для этого можно воспользоваться формулами перехода при повороте осей

J_x0 = J_xc × cos² a₀ + J_yc × sin² a₀ - J_xcyc × sin × 2a₀,

J_y0 = J_yc × cos² a₀ + J_xc × sin² a₀ + J_xcyc × sin × 2a₀.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 273; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!