Главные оси и главные моменты инерции

Выясним, как меняются моменты инерции при повороте системы осей на угол

a = p/2,

J_x1 = J_y; J_у1 = J_х; J_x1у1 = -J_ху.

Видно, что непрерывная функция J_ху при таком повороте меняет знак на противоположный. Следовательно, при повороте осей на некоторый угол a₀ центробежный момент инерции становится равным нулю, а оси главными осями инерции х₀, у₀.

Тогда, подставив в формулу (2.1) значение a = a₀,

J_x0у0 = J_ху × cos a₀ - ,

находим

.

Напомним, что отрицательные углы a₀ откладываются от оси Х по ходу часовой стрелки.

Значение главных моментов инерции можно получить из общих формул перехода к повернутым осям, приняв a = a₀:

J_x0 = J_x × cos² a₀ + J_y۬ × sin² a₀ - J_xy × sin × 2a₀,

J_y0 = J_y × cos² a₀ + J_x × sin² a₀ - J_xy × sin ×2 a₀. (2.2)

Формулы (2.2) можно преобразовать к более удобному виду

J_x0 = ,

J_x0 = .

Исключая из формул cos ×2 a, получаем

J_x0 = ,

J_у0 = .

Эти формулы справедливы, если J_x > J_у. В случае если J_x < J_у, следует знаки перед квадратным корнем поменять на противоположные.

Угол поворота осей можно также определять по следующим формулам

tg a₁ = ,

tg a₂ = .

где a₁ - угол между осью Х и Х₀; a₂ - угол между осью Х и У₀,

Причем в силу перпендикулярности осей Х₀ и У₀ должно выполняться равенство tg a₁ × tg a₂ = -1.

Возможно, также отметить, что главные моменты инерции обладают свойством экстремальности. В этом можно убедиться, продифференцировав выражение для момента инерции относительно повернутых осей по переменной a:

Отсюда следует, что d × J_x1/d × a обращается в ноль, когда J_x1у1 = 0, а это значит, что моменты инерции имеют экстремальные значения относительно главных осей.

Поскольку сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей – величина постоянная, можно заключить, что относительно одной из главных осей, момент инерции имеет максимальное значение, а относительно другой – минимальное.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 191; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!