Преобразование моментов инерции при повороте осей

Пусть известны моменты инерции J_x, J_y, J_yx некоторой фигуры относительно произвольных координатных осей ХОУ (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Повернем оси на угол a против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Требуется найти момент инерции фигуры относительно повернутых осей Х₁ОУ₁.

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях Х₁ОУ₁ выражаются через координаты х и у относительно заданной системы осей следующим образом:

x₁ = x × cos a + y × sin a; y₁ = y × cos a - x × sin a.

По определению

J_x1 = y₁² × dF = (y × cos a – x × sin a)² × dF = cos² a y²× dF + sin² a x² × dF –

- 2 × sin a × cos a x × y × dF = J_x × cos² a + J_y × sin² a - J_xy × sin² a.

Аналогично находим

J_y1 = J_y × cos² a + J_x× sin a + J_xy × sin ×2 a,

J_x1y1 = J_xy × cos ×2 a - 0,5 (J_x - J_y) × sin ×2 a. (2.1)

Отметим, что полученные формулы справедливы и для центральных осей фигуры.

Складывая почленно выражения для осевых моментов инерции, находим

J_x1 + J_y1 = J_x + J_y.

Таким образом, при повороте прямоугольной системы координат сумма осевых моментов инерции не меняется, то есть является величиной инвариантной.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 302; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!