При параллельном переносе осей

Пусть для плоской фигуры площадью F известны статические моменты и моменты инерции относительно осей ХОУ: S_y, S_x, I_x, I_y, I_xy. Требуется определить те же величины относительно осей Х₁О₁У₁, параллельных заданным (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Обозначим через a,b абсциссу и ординату точки О, то есть координаты начала старых осей относительно новых осей. Тогда связь между координатами в новой и старой системах координат будет:

х₁ = х + в, у₁ = у + а.

По определению

S_x1 = y₁ × dF = (y + a) × dF = y × dF + a × ò_FdF.

Таким образом,

S_x1= S_x + a × F, S_y1= S_y + b × F.

Осевой момент инерции относительно оси Х₁:

I_x1 = y₁² × dF = (y + a)² × dF = y² × dF + a² dF + 2 × a y × dF.

Все интегралы в правой части известны, поэтому

I_x1 = I_x + a² × F + 2 × a × S_x,

и аналогично I_у1 = I_у + b² × F + 2 × b × S_у.

Теперь найдем центробежный момент инерции для новых осей:

I_x1y1 = x₁ × y₁ × dF = (x+b) × (y+a) × dF = x × y × dF + a × b × S × dF +

+ a x × dF + b y × dF = I_xy + a × dF + a × S_y + b × S_x.

Полученные формулы значительно упростятся, если в качестве первоначальных осей выбрать центральные оси Х_с, У_с. Теперь можно вместо а и b ввести обозначения x_с, y_с – координаты центра тяжести С_, а новые оси будем обозначать ХОУ. Для центральных осей статические моменты равны нулю и формулы преобразования примут вид

S_x = y_c × F, S_y = x_c × F.

Отсюда можно найти координаты центра тяжести фигуры

y_c = S_x/F; x_c = S_y/F.

Формула преобразования моментов инерции примут вид

J_x = J_xc + y_c² × ,F

J_y = J_yc + x_c² ×F,

J_yx = J_ycxc + x_c × y_c ×F .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 237; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!