Общие теоремы о моментах

Остановимся на некоторых основных и очевидных свойствах статических моментов и моментов инерции.

Теорема 1. Момент составной фигуры равен сумме моментов ее частей.

Действительно, если фигура состоит из двух частей F₁ и F₂, то по свойству интегралов:

S_x = y × dF = y × dF + y × dF = S_x¹ + S_x².

Аналогично

I_x = I_x¹ + I_x².

Следствие. При вычислении момента инерции площади, ограниченной двумя замкнутыми контурами (двухсвязной), можно вычислить момент инерции площади, ограниченной наружным контуром и вычесть из него момент инерции площади, ограниченной внутренним контуром:

I = I₁ – I₂.

Теорема 2. Осевые моменты инерции двух равных фигур, симметрично расположенных относительно некоторой оси, равны между собой.

Площади фигур F₁и F₂ можно разбить на бесконечно малые элементы так, что каждому элементу dF₁ соответствует равный элемент dF₂, причем ординаты их одинаковы, а абсциссы равны противоположны по знаку: х₂ = - х₁.

Тогда I_y¹ = x₁² × dF, I_y² = x₂² × dF,

но х₁² = х₂² и dF₁ = dF₂,

потому I_y¹ = I_y².

Теорема 3. Центробежные моменты двух равных фигур, симметрично расположенных относительно оси, равны по величине и противоположны по знаку для фигур:

I_xy¹ = x₁ × y₁ × dF₁ , I_xy² = x₂ × y₂ × dF₂.

Замечая, что х₁ × у₁ = - х₂ × у₂, а dF₁ = dF₂,

получаем I_xy¹ = I_xy².

Следствие. Центробежный момент инерции фигуры относительно некоторой системы координат равен нулю, если хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии фигуры.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 178; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!