Геометрические характеристики плоских фигур

Основные понятия

Содержание этой главы носит чисто геометрический характер и представляет собой введение к теории изгиба.

Оказывается, что при изгибе, кручении и других видах деформации стержня необходимо знать не только площадь поперечного сечения, но и другие геометрические (интегральные) характеристики поперечного сечения стержня. При выводе формул для определения напряжений встречается ряд определенных интегралов, характеризующих форму и размеры поперечного сечения стержня. В расчетные формулы входят интегральные характеристики сечений относительно главных центральных осей. Для определения положения таких осей требуется умение определять положение центра тяжести сечения, определять интегральные характеристики при параллельном переносе осей и их повороте.

Рис. 2.1

Интегральная характеристика сечения, зависящая только от формы и размеров сечения, является площадью сечения и определяется как:

F = d x × d y = dF.

Кроме этого есть еще интегральные характеристики, которые зависят как от формы и размеров сечения, так и от выбранной системы координат.

Статические моменты площади определяются по формулам

S_x = y × d x × d y = y × dF,

S_y = x × d y × d y = x × dF.

Размерность статического момента – единицы длины в кубе. В зависимости от выбора осей координат статические моменты могут принимать положительные, отрицательные значения и могут быть равными нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной осью. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести плоской фигуры.

Интегральные характеристики, вычисляемые по формулам:

I_x = y² × d x × d y = y² × dF,

I_y = x² × d x × d y = x² × dF,

называются осевыми моментами инерции относительно осей ОХ и ОУ, соответственно. Размерность осевых моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые моменты инерции всегда положительны и не равны нулю.

Интегральная характеристика, вычисляемая по формуле:

I_xy = x × y × d x × d y = x × y × dF,

называется центробежным моментам инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей ОХ и ОУ. Размерность центробежного момента инерции – единицы длины в четвертой степени. Центробежный момент в зависимости от положения координатных осей может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называется главными осями, а если начало этих осей совпадает с центром тяжести сечения, то такие оси называются центральными главными осями.

Формулы для вычисления напряжений выведены именно относительно главных центральных осей, так как в этом случае они получаются наиболее простыми.

Для большинства простых геометрических фигур в справочниках можно найти готовые формулы для нахождения моментов инерции.

Для стандартных прокатных профилей (уголков, швеллеров и двутавров) в специальных таблицах ГОСТа наряду с размерами, площадями сечений даны и величины моментов инерции относительно центральных осей.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 231; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!