Следовательно

s_экв = s₁ - s₃ = 2t_max = 2 M_к/W_r.

Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления

W_r = 0,2d³.

Условие прочности примет вид

s_экв = M_к/0,1d³ £ [s].

Откуда d ³ .

Для определения наибольшего значения крутящего момента необходимо построить график этой функции.

1. Уравнение крутящего момента

М_к(z) = М_к(0)|₁ - m(z-l)|₂.

На левом конце стержня М_к(0) = L,

тогда

М_к(z) = 4|₁ – 8(z – 1)|₂ .

Вычисляем значения крутящего момента на границах участка

М_к(0) = 4 кН×м, М_к(l) = 4 кН×м, М_к(2,5l) = -8 кН×м

и строим эпюру М_к(z).

x

z

M_k(z), кН×м

Рис. 7.4

Из графика следует, что максимальное значение крутящего момента равно

М_кmax = 8 кН×м.

Подставляя численные значения, находим

d ³ .

Принимаем диаметр стержня d = 80 мм.

2. Вычисляем наибольшие касательные напряжения в опасном сечении

t_max = M_кmaх/0,2d³ = 8×10³/0,2 × (80×10^-3)³ = 78×10⁶ Н/м² = 78 МПа.

Главные напряжения в опасных точках этого сечения s₁ = 78 МПа; s₂ = 0 МПа; s₃ = - 78 МПа.

Главные линейные деформации для упругого тела определяем по формулам обобщенного закона Гука, приняв для стали модуль Юнга Е = 2×10⁵ МПа, коэффициент Пуассона m = 0,3:

e₁ = [s₁ - m(s₂ + s₃)]/Е = (78 + 0,3×78)/2×10⁵ = 50,7×10^-5,

e₂ = [s₂ - m(s₃ + s₁)]/Е = 0,

e₃ = [s₃ - m(s₂ + s₁)]/Е = -50,7×10⁵.

Следовательно, и деформированное состояние при кручении будет двухосное.

Пример 3. По заданной схеме нагружения (рис. 7.5) для стержня подобрать двутавровое поперечное сечение из расчета на прочность. Для выбранного стержня построить эпюры нормальных и касательных напряжений и проверить прочность стержня в опасных точках по третьей теории прочности.

Исходные данные: Р = 72 кН, L = 16 кН×м, l = 0,5 м, [s] = 160 МПа.

z

Рис. 7.5

Составим уравнение изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q_y

Q_y(z) = Q_y(0)|₁ + P|₂ ,

М_х(z) = М_х(0) + Q_У(0)z|₁ + P(z-l)|₂.

Определим постоянные интегрирования Q_y(0) и М_х(0). Для заданных условий закрепления концов стержня граничные условия запишутся в следующем виде

М_х(0) = 0, М_х(2l) = L.

Из второго условия имеем

Q_У(0)×2l + Pl = L.

Откуда

Q_У(0) = L/2l - P/2 = 16/2×0,5 - 72/2 = -20 кН.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 158; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!