Понятие о матричных играх со смешанным расширением

Решения матричной игры начинается с нахождения её верхней инижней цены. Если эти значения совпадают и игра имеет седловую точку,то на этом решение игры завершается. Если же матричная игра не имеетрешения в чистых стратегиях, то для нахождения её решенияиспользуются так называемые смешанные стратегии, а найденные ранеенижняя и верхняя цены игры указывают на то, что игрок 1 не долженнадеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может бытьуверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. В этомслучае оптимальный результат игры достигается путём применениячистых стратегий случайно, с определённой вероятностью.Смешанной стратегией игрока называется полный наборвероятностей применения его чистых стратегий.Стратегии, применённые с вероятностью, отличной от нуля,называются активными стратегиями.Пусть игрок 1 имеет m чистых стратегий m A A A A ..., , , , 3 2 1 .Обозначим через m x x x x ,..., , , 3 2 1 вероятности, с которыми игрок 1использует свои соответствующие чистые u1089 стратегии. Тогда смешаннаястратегия игрока 1 – это набор чисел ) ,..., , , ( 3 2 1 m x x x x x  ,удовлетворяющих соотношениям0  i x ) ,..., 1 ( m i  , 11

 m

ii x .Аналогично для игрока 2. Обозначим через n y y y y ,..., , 3 , 2 1вероятности, с которыми он использует свои чистые стратегииn B B B ..., , , 2 1 . Смешанная стратегия для игрока 2 – набор чисел) ,..., , ( 3 , 2 1 n y y y y y  , удовлетворяющих соотношениям0  j y ) ,..., 1 ( n j  , 11

 

n

j

j y .Для соблюдения секретности, каждый игрок применяет своисмешанные стратегии независимо от выбора другого игрока.Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существуетоптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборекоторой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:в н v v v   .При этом условии величина v называется ценой игры.Если  x – оптимальная стратегия первого игрока, а  y –оптимальная стратегия второго игрока, то число 

  n

j

m

i

j i ij y x a v1 1

является ценой игры.Определение оптимальных стратегий для обоих игроков и цены игрыи составляет процесс нахождения решения игры.Доказано, что всякая матричная игра с нулевой суммой имеетрешение в смешанных стратегиях.И для того чтобы число v было ценой игры, а  x и  y –оптимальными стратегиями необходимо и достаточно выполнениенеравенств). ,..., 1 ( и ) ,..., 1 (1 1m i v y a n j v x an

j

j j i

m

i

i j i      







Для игр порядка 2 , 2 , 2 2    m n справедливо следующееутверждение: если один из игроков применяет свою оптимальнуюсмешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры v внезависимости от того, с какими вероятностями будет применять второйигрок стратегии, вошедшие в оптимальные (в том числе и чистыестратегии). И для достижения наибольшего гарантированного выигрышавторому игроку также необходимо придерживаться своей оптимальнойсмешанной стратегии.Графическое решение матричных игр со смешанными стратегиями.Графический метод применим к тем играм, в которых хотя бы одиниз игроков имеет две стратегии.Рассмотрим игру 2хn, представленную в таблице 25.1. Эта игра неимеет седловой точки.Таблица 25.1В1 В2 … Вk … Вn Вероятностииспользованиячистыхстратегийигроком АА1 а11 а12 … а1k … а1n x1=рА2 а21 а22 … а2k … а2n x2=1– рВероятностииспользованиячистыхстратегийигроком Ву1 у2 … уk … уnПостроим графики прямыхk k k k k k a p a a p a p a w 2 2 1 2 1 ) ( ) 1 (      для каждого k=1,2,…, n в системе координат рОw. На каждой изпостроенных прямых определяются и отмечаются наименьшие значенияполужирной ломаной линией. Эта линия огибает снизу все семействопостроенных прямых и называется нижней огибающей семейства(рис. 25.1).__

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 182; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!