Сравнение компонент тензора Риччи

Все формулы записаны в системе, в которой гравитационная постоянная и скорость света полагаются равными единице .

Метрика Швардшильда имеет вид:

Метрика Фридмана, приведенная к нужному виду [3], имеет вид:

Здесь - масштабный фактор, который задается параметрически следующим образом:

Переход от метрики Фридмана к метрике Швардшильда осуществляется если:

Тензор Риччи в общем случае имеет вид:

где по немым индексам подразумевается суммирование от 0 до 3, <<,>> в нижнем индексе означает дифференцирование по соответствующей координате, - скобки Кристоффеля, которые задаются формулой:

где - метрический тензор.

Выпишем не равные нулю компоненты метрического тензора в метрике Швардшильда:

Теперь выпишем не равные нулю компоненты метрического тензора в метрике Фридмана:

Теперь выпишем не равные нулю скобки Кристоффеля и компоненты тензора Риччи в метрике Швардшильда:

Теперь выпишем не равные нулю скобки Кристоффеля и компоненты тензора Риччи:

Сравним теперь некоторые компоненты. Для начала сравним компоненты в обеих метриках: в Швардшильде , а во Фридмане и если мы сделаем преобразование (1), то получим .

Но более наглядное сравнение получается при . В Швардшильде при подстановке вместо горизонта событий ( ), мы получаем:

Но во Фридмане, при преобразовании (1), мы получаем:

и при подстановке , очевидно получаем:

т. е. на горизонте событий в приведенной метрике Фридмана возникает сингулярность. Следовательно, сшивать эти метрики нельзя, поскольку есть существенная разница в кривизне на границе сшивания.

Заключение

Удалось показать, что нельзя гладко сшить метрику Фридмана с метрикой Швардшильда, следовательно, вопрос о коллапсе даже сферически-симметричного тела остается по- прежнему открыт.

Благодарности: автор выражает глубокую благодарность профессору А.А. Грибу, доктору Ю.В. Павлову и к. ф.-м. н. С.В. Красникову за научные дискуссии и Фонду <<Династия>> за финансовую поддержку.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 182; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!