Метод потенциалов

Широко распространенным методом решения транспортных задач является метод потенциалов.

Если допустимое решение транспортной задачи . , является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков , и потребителей , , удовлетворяющие следующим условиям:

, (5)

. (6)

Группа равенств (5) используется как система уравнений для нахождения потенциалов. Данная система уравнений имеет m+n неизвестных , и , . Число уравнений системы, как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного решения, равно m+n-1. Так как число неизвестных системы на единицу больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение произвольно, а остальные найти из системы.

Группа неравенств (6) используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:

Числа называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.

Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные.

Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (l, k) таблицы, соответствующую . Если , то решение оптимальное. Если же , то для соответствующей клетки (l, k) строят цикл и улучшают решение, перераспределяя груз по этому циклу.

Особенности решения транспортных задач с неправильным балансом:

1. Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные запросы потребителей, т.е. ,то необходимо ввести фиктивного (n+1) потребителя с запросами и нулевыми стоимостями перевозок груза , .

2. Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные запасы поставщиков, т.е. , то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика с запасами и нулевыми стоимостями перевозок груза , .

3. При составлении начального опорного решения в последнюю очередь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.

Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:

1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.

2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть m+n-1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используя метод вычеркивания).

3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений

, которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формулам

, если известен потенциал , и , если известен потенциал .

4. Проверить выполнение условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам:

и те из них, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток , то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.

5. Перейти к новому опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка

.

Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с « + » в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину . Клетка со знаком «-« , в которой достигается , остается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным m+n-1.

Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 172; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!