Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Правило знаков для внутреннего крутящего момента

Читайте также:
  1. Административные правонарушения обладают рядом признаков.
  2. Ведомость морфологических признаков почв АО «Боголюбовское» Любинского района Омской области
  3. Вихревое электрическое поле. Правило Ленца. Самоиндукция. Индуктивность
  4. Вопрос 6. Правило сложения дисперсий
  5. Выявление признаков инсценировок краж
  6. Выявление признаков экономических преступлений в деятельности финансово-кредитных организаций
  7. Диаграмма состояния сплавов, имеющих неограниченную растворимость в жидком, твёрдом состоянии. Правило отрезков.
  8. ЗАДАНИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ЗНАКОВ ПРЕПИНАНИЯ
  9. Законы Менделя о наследовании признаков.
  10. Значимость таких угроз будет зависеть от характера знаков внимания или подарков, их стоимости и намерения, стоящего за такими предложениями.

Положительным направлением крутящего момента, расположенного в сечении, считается направление момента против часовой стрелки.

 

Для нахождения касательного напряжения τρ в любой точке поперечного сечения вала, находящийся на расстоянии ρот центра (см. рис. 8) справедлива следующая формула:

 

τρ = (29)

 

Рис.10

 

Условие жесткости при кручении имеет вид:, где [] –допускаемый угол имеет размерность рад/м в данной формуле.

При расчетах на жесткостьнаходят максимальный относительный угол закручивания: (30)

и сравнивают его с допускаемым []:

(31)

Чтобы перейти к размерности град/м условие жесткости должно иметь следующий вид:

, (32)

где [] - относительный угол закручивания имеет размерность град/м, величина лежит в пределах от 0,25 град/м до 1 град/м и зависит от назначения вала.

Величина-G Iρ (произведение модуля упругости второго рода G на полярный момент инерции площади поперечного сечения Iρ)- называется жесткостью сечения вала при кручении и показывает влияние материала и геометрического размера сечения вала на получаемую деформацию.

Угол закручивания круглого стержня в пределах упругих деформаций рассчитывают по следующей формуле:

(33)

где Мкр - крутящий момент,

ℓ - длина вала,

G - модуль сдвига

Iρ- полярный момент инерции площади поперечного сечения сплошного стержня диаметром d,

- полярный момент инерции трубчатого стержня с внутренним диаметром и наружным диаметром ,

 

G- жесткость сечения стержня при кручении, кГ(МПа)

 

Чтобы получить формулу (29) для определения касательного напряжения τ в любой точке сечения стержня и формулу (30)для определения относительного угла закручивания круглого стержня , необходимо рассмотреть некоторый участок вала длиной (см. рис. 9).

 

 

 

Рис. 11

 

Вал подвержен действию некоторого скручивающего момента Мк, вызывающего внутренний крутящий момент Мкр

Пусть угол поворота одного из сечений m-m выделенного элемента вала будет, тогда угол поворота другого сечения n-n элементарного участка будет , т. е. угол закручивания участка стержня длиной будет . Следовательно, если до деформации радиус сечения m-m и радиус сечения n-n находились в одной диаметральной плоскости, то после деформации кручения радиус займёт положение, составляющее уголс его положением до деформации. Образующая после деформации займёт некоторое новое положение под углом к её первоначальному положению .

Угол между образующими и представляет cобой не что иное как относительный сдвиг, или угол сдвига:

tg.

Учитывая, что =, а =, угол сдвига можно представить в виде

(34)

Величина , как уже известно (см. пункт 3 основных гипотез, принятых при кручении), является относительным (погонным) углом закручивания и обозначается через . Учитывая это формулу (33)можно записать так:

. (35)

Теперь рассмотрим физическую сторону задачи, устанавливающую связь между напряжением и деформацией. Поскольку элемент испытывает чистый сдвиг, то, учитывая выражение (10)согласно формуле (1)получим:

 

. (36)

 

Так как при закручивании поперечные сечения вала остаются плоскими, а радиусы прямыми (см. пункт 1 гипотез, принятых при кручении), то выражения для угла сдвига и касательного напряжения в сечении на расстоянииот центра его можно представить формулами, аналогичными формулам (35)и (36):

 

; (37)

. (38)

Формула (37)показывает, что касательные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону прямо пропорционально расстоянию точек от центра сечения (см. рис. 10). Очевидно, максимальные напряжения будут у поверхности стержня, при . Таким образом, выражение (38)можно переписать в виде:

 

.

 

Так как Мкр будет единственным усилием в сечении вала, представляющим собой суммарный момент от касательных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения:

(39)

Подставляя выражение (38) для касательного напряжения в уравнение (39), будем иметь:

.

Отсюда получим формулу для определения относительного угла закручивания круглого стержня (см. формулу (30)), указанную ранее:

(40)

Зная выражение (24)относительного угла закручивания, можно записать формулу для определения взаимного угла закручивания двух сечений, расположенных на расстоянии :

. (41)

 

 

Если в пределах цилиндрического участка стержня длиною крутящие моменты в сечениях не изменяются, то

(42)

Формулу (42), устанавливающую связь между силовым фактором при кручении кр) и соответствующей деформацией кручения (углом ), часто называют законом Гука при кручении.

Для определения касательного напряжения в любой точке сечения стержня достаточно в формулу (38)подставить выражение для по формуле (40). Тогда:

(43)

Формула (43) аналогична формуле (29), что и требовалось доказать.

 

Если в стержне выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол α и воспользоваться формулами, связывающими нормальные напряжения и касательные напряжения приложенные к исходным площадкам под углом α: =τ∙sin2α и =τ∙cos2α. При α=00 и α=900 напряжения и принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т. е. =0, а =.При α=450 касательные напряжения =0, а нормальные напряжения=.

 

Рис. 12

 

Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения при упругом кручении можно определить по формуле:

τρ =,

где ρ - расстояние от центра сечения до точки, в которой определяется касательное напряжение.

Формула показывает, что напряжения в плоскости сечения вала распределены неравномерно и в зависимости от радиуса изменяются по линейному закону от нуля в центре сечения, до максимума на его поверхности (см. рис. 10).

Известно, что касательные напряжения в наклонных площадках определяются по формуле: =τ∙cos2α. Вычислим значение касательного напряжения на площадке, расположенной под углом 900 к наклонной.

Тогда .

Значит .

Касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены навстречу друг другу.

 

Рис. 13

 

В силу закона парности действия касательных напряжений в осевых (продольных) сечениях также возникнут касательные напряжения. Таким образом, при кручении касательные напряжения действуют в поперечных и продольных сечениях вала, направленные от ребра или к ребру (см. рис. 12, 13).

При кручении материал вала находится в состоянии чистого сдвига, поэтому в сечениях, наклоненных под углом 450 к граням, на которых действуют касательные напряжения, будут действовать только нормальные напряжения, численно равные касательным. Таким образом, чистый сдвиг

может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (см. рис. 12 и рис. 14).

 

 

 

Рис. 14

 

Характер разрушения вала будет зависеть от способности материала сопротивляться касательным и нормальным напряжениям.

Если материал сопротивляется сдвигу хуже, чем растяжению (сталь), то образец разрушается по сечению, нормальному к его оси (см. рис. 15).

Если на образце начертить продольную, прямую линию, то после разрушения линия будет винтовой. Количество витков будет равно количеству полных углов закручивания. Полный угол закручивания равен .

Если же материал сопротивляется растяжению хуже, чем сдвигу (чугун), то трещины при кручении пойдут по винтовым линиям, касательные к которым образуют угол 450 с осью стержня (см. рис 16).

 

Рис. 15. Вид разрушения образца из стали.

 

Рис. 16. Вид разрушения образца из чугуна.

 


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Основные понятия и зависимости | Удельная потенциальная энергия при кручении

Дата добавления: 2014-03-13; просмотров: 657; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.005 сек.