Упорядоченное поле

Поле

О. Непустое множество с двумя алгебраическими операциями сложением (+) и умножением (·) называется полем, если является коммутативным кольцом с единицей, причем нулевой элемент и единичный элемент не совпадают, для каждого элемента существует в обратный ему элемент .

Отметим некоторые свойства поля.

1) Для любых элементов и из , где , в поле разрешимо уравнение .

Д. Существует , тогда или . Тогда , то .

2) В поле нет делителей нуля, т.е. из или .

Д. Пусть , тогда или , но , стало быть .

3) Множество ненулевых элементов поля образует группу по умножению (непосредственно следует из определения поля).

4) По определению всякое поле является кольцом, но не всякое кольцо является полем. Например, кольцо целых чисел не является полем (почему?).

Упр. 22. Докажите, что множество классов вычетов по модулю 5, т.е. , является полем, а по модулю 6 не является полем.

О. Поле называется упорядоченным, если на нем определено отношение порядка, т.е. отношение, обладающее свойствами транзитивности, антисимметричности и связности, обозначаемое символом “<” (“>”). При этом, если , то говорят, что «а меньше в» или «а предшествует в», и выполняются следующие свойства:

1) для любых и из если , то (монотонность сложения);

2) для любых и из если и , то (монотонность умножения);

3) для любого из , где , следует, что , т.е. квадрат любого элемента положителен.

Упр. 23. Докажите, что в упорядоченном поле, если , то .

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 272; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!