Поле рациональных чисел

В кольце целых чисел неразрешимо даже такое простейшее уравнение, как .

Задачи измерения пространственных, временных, физических и других величин приводят к необходимости учитывать совокупности частей единиц измерения. На примере даже измерения длины отрезка можно убедиться, что целые числа не могут обеспечить решение указанных выше задач измерения величин. Возникает необходимость введения новых чисел, которые могли бы характеризовать совокупности частей единицы, т.е. расширения целых чисел так, чтобы в этом расширении было возможно деление любых чисел (кроме деления на нуль). Таковым расширением является множество рациональных чисел, получающееся из множества целых чисел добавлением к ним дробных чисел. Использование дробей в вычислениях имеет глубокую историю.

О. Под дробью понимают любое отношение вида , где и - целые числа, . Две дроби и считаются равными, т.е. =, тогда и только тогда, когда .

Обычно при записи дробей знаменатель считается натуральным числом, а числитель произвольным целым числом.

Среди дробей выделяют так называемые дробные числа, т.е. дроби, когда числитель не делится на знаменатель, например, - дробь, но не дробное число, а - дробное число.

Таким образом, совокупность всех рациональных чисел состоит из целых и дробных чисел.

На множестве рациональных чисел определяются операции сложения и умножения следующим образом.

О. Пусть , , тогда +=, .

Непосредственно проверяется, что относительно указанных операций множество является полем.

Упр. 24. Проверьте, что на множестве выполняются для указанных операций все свойства из определения поля.

Отношение порядка на множестве

Будем считать, что в записи дробей знаменатели положительны.

О. Пусть даны два рациональных числа и . Будем считать, что <тогда и только тогда, когда .

Отметим, что замечание о форме записи рациональных чисел, т.е. дробей, является существенным. Например, , , т.к. , с другой стороны, если взять дроби и , то , т.е. число должно быть больше числа , чего быть не может.

Теорема. Бинарное отношение “<” на множестве рациональных чисел обладает следующими свойствами:

1) для любых из , если и , то (транзитивность);

2) для любых и из имеет место одно и только одно из трех соотношений: (связность);

3) для любых из , если , то ;

4) для любых из , если и , то .

Соотношения 3) и 4) называют соотношениями стабильности.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Относительно порядка на множестве обладает свойством плотности, т.е. справедливо следующее утверждение: для любых и , где , найдется такое рациональное число , что .

Докажите, что в качестве можно взять число .

Упр. 25. Докажите, что если две несократимые дроби и равны, то и .

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 414; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!