Делимость целых чисел и деление с остатком в кольце целых чисел

О. Пусть , говорят, что делится на и пишут или (делитель ), если существует число , удовлетворяющее условию и называют частным от деления на .

Ясно, что деление во множестве не всегда выполнимо.

Исходя из определения умножения, можно доказать, что если существует частное от деления на , где , то оно определяется однозначно, с другой стороны, не существует частного от деления числа, отличного от нуля, на нуль. Однако при таком определении , т.е. нуль является делителем нуля, т.к., например, , но при этом нарушается однозначность деления.

Для делимости целых чисел выполняются следующие свойства:

1) для любого и ;

2) если , то ;

3) если и , то , т.е. отношение делимости транзитивно;

4) если , то для любого ;

5) если и , то для любых целых чисел и ;

6) если , то для любого ;

7) если и , то .

Докажите эти свойства самостоятельно.

О. Пусть - целое число, - натуральное число. Говорят, что произведено деление с остатком числа что на , если найдены целые числа и такие, что , . При этом называется частным (неполным частным), а - остатком от деления на .

Теорема о делении с остатком. Для любых чисел и , где , существует единственная пара целых чисел и , удовлетворяющая условиям:

и .

Д. 1) Докажем сначала возможность деления с остатком, когда . Возможны два случая: и .

a) Пусть , тогда имеем ; положим и ; .

b) При согласно свойству Архимеда найдется такое натуральное число , что . Рассмотрим последовательность чисел

(1)

Ввиду дискретности множества натуральных чисел, в ряду (1) найдется наибольшее натуральное число такое, что , но , т.е. , но . Обозначим через , т.е. =, тогда будем иметь или , где , т.е. при деление с остатком возможно.

Пусть , тогда и согласно доказанному существуют целые числа и , , что выполняется равенство или . Если , то , если же , то , где . Обозначив через и через , будем иметь , т.е. и в этом случае деление с остатком возможно.

2) Докажем единственность деления с остатком. Пусть существуют два представления целого числа :

и , и .

Предположим, что и , тогда . Так как и , то , но , следовательно, , с другой стороны, или . Получили противоречие.

Упр. 19. Разделить с остатком -68045 на 78 и записать в виде деления с остатком.

Кольцо классов вычетов целых чисел по данному модулю

Ограничимся случаем, когда .

О. Пусть даны два целых числа и . Говорят, что они сравнимы по модулю 6 и пишут , если они при делении на 6 дают один и тот же остаток.

Нетрудно проверить, что если числа и при делении на 6 дают один и тот же остаток, то их разность делится на 6.

Отношение сравнимости целых чисел является отношением эквивалентности, т.е. выполняются следующие свойства:

1) - рефлексивность;

2) если , то - симметричность;

3) если и , то - транзитивность.

По теореме об эквивалентности множество целых чисел разобьется на непустые непересекающиеся классы, равноостаточные при делении на шесть чисел. Так как при делении на 6 остатками могут быть лишь числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, то соответственно мы и получимшесть классов чисел, которые принято обозначать через или и называть классами вычетов по модулю шесть, а само множество этих классов – через .

Упр. 20. Какому из классов вычетов принадлежат числа 142 и -142?

На множестве вводятся операции сложения и умножения следующим образом: под суммой классов и будем понимать класс , а под их произведением – класс .

Проверьте, что таким образом определенные операции являются алгебраическими на множестве , т.е. сумма и произведение классов не зависят от выбора компонент в классах.

Нетрудно проверить, что при таком определении операций сложения и умножения для выполняются все свойства коммутативного кольца с единицей (проверьте самостоятельно).

Таким образом, получили пример конечного числа.

Упр. 21. Заполните таблицу умножения классов.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 1010; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!