Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Делимость целых чисел и деление с остатком в кольце целых чисел

Читайте также:
  1. I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БИОТЕХНОЛОГИИ КАК НАУКИ И ЕЕ ПРЕДМЕТА ИЗУЧЕНИЯ.
  2. II. Деление клетки
  3. II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛЕКАРСТВЕННЫХ СРЕДСТВ В ОРГАНИЗМЕ. БИОЛОГИЧЕСКИЕ БАРЬЕРЫ. ДЕПОНИРОВАНИЕ
  4. IV. Распределение часов курса по темам и видам работ
  5. Res mancipi et res nec mancipi. Старое и главное деление цивильного права вещей на res mancipi и res nec mancipi сохранилось до начала империи.
  6. Административно-территориальное устройство субъекта РФ и внутреннее территориальное деление муниципального образования
  7. Административное деление Франции
  8. Алгоритм описания многолетней динамики заболеваемости (распределение годовых показателей заболеваемости)
  9. Арифметические операции на множестве действительных чисел
  10. Биномиальное распределение

 

О. Пусть , говорят, что делится на и пишут или (делитель ), если существует число , удовлетворяющее условию и называют частным от деления на .

Ясно, что деление во множестве не всегда выполнимо.

Исходя из определения умножения, можно доказать, что если существует частное от деления на , где , то оно определяется однозначно, с другой стороны, не существует частного от деления числа, отличного от нуля, на нуль. Однако при таком определении , т.е. нуль является делителем нуля, т.к., например, , но при этом нарушается однозначность деления.

Для делимости целых чисел выполняются следующие свойства:

1) для любого и ;

2) если , то ;

3) если и , то , т.е. отношение делимости транзитивно;

4) если , то для любого ;

5) если и , то для любых целых чисел и ;

6) если , то для любого ;

7) если и , то .

Докажите эти свойства самостоятельно.

О. Пусть - целое число, - натуральное число. Говорят, что произведено деление с остатком числа что на , если найдены целые числа и такие, что , . При этом называется частным (неполным частным), а - остатком от деления на .

Теорема о делении с остатком. Для любых чисел и , где , существует единственная пара целых чисел и , удовлетворяющая условиям:

и .

Д. 1) Докажем сначала возможность деления с остатком, когда . Возможны два случая: и .

a) Пусть , тогда имеем ; положим и ; .

b) При согласно свойству Архимеда найдется такое натуральное число , что . Рассмотрим последовательность чисел

(1)

Ввиду дискретности множества натуральных чисел, в ряду (1) найдется наибольшее натуральное число такое, что , но , т.е. , но . Обозначим через , т.е. =, тогда будем иметь или , где , т.е. при деление с остатком возможно.

Пусть , тогда и согласно доказанному существуют целые числа и , , что выполняется равенство или . Если , то , если же , то , где . Обозначив через и через , будем иметь , т.е. и в этом случае деление с остатком возможно.

2) Докажем единственность деления с остатком. Пусть существуют два представления целого числа :

и , и .

Предположим, что и , тогда . Так как и , то , но , следовательно, , с другой стороны, или . Получили противоречие.

Упр. 19. Разделить с остатком -68045 на 78 и записать в виде деления с остатком.

 

Кольцо классов вычетов целых чисел по данному модулю

 

Ограничимся случаем, когда .

О. Пусть даны два целых числа и . Говорят, что они сравнимы по модулю 6 и пишут , если они при делении на 6 дают один и тот же остаток.

Нетрудно проверить, что если числа и при делении на 6 дают один и тот же остаток, то их разность делится на 6.

Отношение сравнимости целых чисел является отношением эквивалентности, т.е. выполняются следующие свойства:

1) - рефлексивность;

2) если , то - симметричность;

3) если и , то - транзитивность.

По теореме об эквивалентности множество целых чисел разобьется на непустые непересекающиеся классы, равноостаточные при делении на шесть чисел. Так как при делении на 6 остатками могут быть лишь числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, то соответственно мы и получимшесть классов чисел, которые принято обозначать через или и называть классами вычетов по модулю шесть, а само множество этих классов – через .

Упр. 20. Какому из классов вычетов принадлежат числа 142 и -142?

На множестве вводятся операции сложения и умножения следующим образом: под суммой классов и будем понимать класс , а под их произведением – класс .

Проверьте, что таким образом определенные операции являются алгебраическими на множестве , т.е. сумма и произведение классов не зависят от выбора компонент в классах.

Нетрудно проверить, что при таком определении операций сложения и умножения для выполняются все свойства коммутативного кольца с единицей (проверьте самостоятельно).

Таким образом, получили пример конечного числа.

Упр. 21. Заполните таблицу умножения классов.

 
           
           
           
           
           
           



<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Отношение порядка на множестве целых чисел | Кольцо с делителями нуля

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 1010; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.