Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Интегрирование некоторых иррациональных выраженийИнтегралы вида вычисляются при помощи формул:
а) Рассмотрим интегралы вида (2) где R – рациональная функция от переменных, - натуральные числа, Пусть S – наименьший общий знаменатель дробей Тогда с помощью замены интеграл (2) сводится к интегралу от рациональной функции переменного . Рассмотрим, например, интеграл . Выбирая наименьший общий знаменатель дробей (то есть 6), сделаем замену . Тогда и Остается вычислить последний интеграл, как это указано в 1.6. б) При вычислении интегралов вида 1)2) 3) где - рациональная функция, удобно пользоваться следующими тригонометрическими подстановками соответственно: или 2) или 3) или В этом случае исходные интегралы сводятся к интегралам, описанным в 1.7 и в 1.8. в) Интегралы от дифференциального бинома, т.е. интегралы вида где и - действительные числа, а и - рациональные, сводятся к интегралу от обычной рациональной функции одного переменного только в трех случаях (теорема Чебышева): 1) -целое число; 2) - целое число; 3) - целое число. В первом случае это делается при помощи подстановки , где s – общий знаменатель дробей и ; во втором случае можно положить , где s – знаменатель дроби ; в третьем применяют подстановку , где s – знаменатель дроби . 1.11 Определенный интеграл. Понятие определенного интеграла Римана и его свойства хорошо изложены в литературе (см. /1 – 4/), поэтому мы останавливаться на этом не будем. Рассмотрим лишь способы вычисления определенных интегралов и их приложения. а) Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция непрерывна на отрезке . Если функция является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то б) Формула замены переменной. Пусть 1) функция непрерывна на отрезке ; 2) функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причем для всех , и Тогда Таким образом, при замене переменного в определенном интеграле следует всюду формально заменить на и соответственно изменить пределы интегрирования. в) Формула интегрирования по частям. Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то
Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 807; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |