Числовые поля. Минимальность поля рациональных чисел

Следует отметить, что кроме поля рациональных чисел, существуют и другие числовые поля, например, как будет показано ниже, множество действительных чисел также является полем.

Теорема. Непустое числовое множество тогда и только тогда является полем, когда выполняются следующие условия:

1) для любых и из и ;

2) для любого и для любого , где , .

Д. Необходимость указанных условий непосредственно следует из определения поля.

Достаточность. Пусть для множества чисел выполняются указанные два условия. Докажем, что является полем.

1) Коммутативный и ассоциативный законы сложения и умножения и дистрибутивный закон умножения относительно сложения выполняются на любом множестве чисел, то они выполняются и на множестве .

2) Пусть , тогда и .

3) Пусть и , тогда и .

4) Очевидно, что .

Таким образом, является полем. Теорема доказана.

Упр. 26. Докажите, что множество чисел образует поле и .

О. Поле называют расширением поля , если .

Теорема. Поле рациональных чисел является минимальным числовым полем, т.е. содержится в любом числовом поле.

Д. Пусть - произвольное числовое поле.

1) , если натуральное число , то . По аксиоме индукции множество натуральных чисел содержится в .

2) По предыдущей теореме и если , то . Пусть , тогда , т.е. множество целых чисел .

3) Рассмотрим произвольное рациональное число , где , т.е. и . Тогда согласно свойству полей , т.е. .

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что все числовые поля содержат бесконечное число элементов. Приведенный в упр. 21 пример класса вычетов показывает, что существуют конечные поля.

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 628; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!