Понятие равновесия по Нэшу. Нахождение ситуации равновесия в биматричных играх

Социальный процесс представляет собой бесконечный динамичный поток событий. Встает вопрос о соотношении эмпирического и теоретического знания в социально-гуманитарных исследованиях.

Особенности эмпирических фактов в социогуманитарном знании:

1) Данные факты социальны по своей природе. С одной стороны, они являются инвариантными и неизменными по своей сущностной завершенности. С другой, установление и интерпретация данных фактов затруднены, так как в отличие от фактов естественных наук, они в большинстве случаев непосредственно не наблюдаемы и не воспроизводимы в эксперименте.

2) Социальные факты по своей природе динамичны, находятся в постоянном развитии, по мере, с одной стороны, общественной эволюции, с другой, совершенствования теорий и методов получения и обработки данных. Социальные факты изменяются, появляются и исчезают в зависимости от принятой точки зрения, масштабов исследования, исследовательского интереса, концептуальной системы.

Важной проблемой для исследователя является отбор социальных фактов. Его задачей выступает приведение в порядок социальных явлений, а для этого необходима теория, на основании которой осуществляется избирательный подход к социальным фактам. Отбор социальных фактов тесно связан с ценностными установками исследователя и его научной концепцией. Освещение социальных явлений в различных исследованиях может значительно отличаться. Противоборствующие научные концепции диктуют неодинаковый отбор фактов в работах ученых различных направлений, способствуют созданию отличающихся моделей социальной действительности. Оперируя социальными фактами, исследователь обладает относительной свободой, от него зависит отбор фактов и построение их в известную систему, а также итоговая оценка событий. Вместе с тем исследователь не имеет права абсолютно произвольно обходиться с фактами.

Для отражения социальных явлений требуется введение пространственно-временных и смысловых границ, которые всегда относительны (что считать началом гражданской войны в России, например).

Особенности социально-гуманитарных теорий:

Теории в социально-гуманитарных науках не носят дедуктивного характера, т.е. не представляют собой такой хорошо организованной связи между положениями, чтобы можно было из одного вывести любое другое. В социально-гуманитарных теориях отсутствует строгость такого порядка, как, например, в теориях математики или логики. В таких условиях особенно важное место в исследовании начинает занимать гипотеза. Отсюда важнейшее звено социально-гуманитарного исследования – формулирование гипотез. Одна из причин слабости многих исследований – отсутствие в них гипотез или неграмотное их построение. Гипотезы особенно важны в социально-гуманитарном знании, где затруднено применение экспериментальных методов исследования.

С другой стороны, как бы ни сложно было построение теорий в социально-гуманитарных науках, более или менее полное знание и здесь не может развиваться при отсутствии теоретических обобщений. Характерная особенность – наличие ряда конкурирующих гипотез и теорий, которые различным образом объясняют те или иные социальные явления (в отличие от естественных наук).

В социально-гуманитарных исследованиях затруднена проверка гипотез. Гипотезы в большинстве случаев сами по себе не доказательны, они являются не результатом всестороннего исследования, а вытекают из общих соображений, отдельных наблюдений, интуитивных соображений. Обоснование научных гипотез осуществляется наличным материалом. Обосновать гипотезу – не означает перечислить все социальные факты. Нужно дойти до их сути. А этого невозможно достигнуть без предварительных рассуждений и общих представлений. Поэтому опыт здесь в большей степени теоретически нагружен, чем в естественных науках.

Понятие равновесия по Нэшу. Нахождение ситуации равновесия в биматричных играх.

Определение 1. Ситуация бескоалиционной игры x⁰= (x₁⁰, …, x_n⁰) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если

H_i (x₁⁰, …x_i-1⁰, x_i, x_i+1⁰, …, x_n⁰ ) < H_i (x₁⁰, …x_i-1⁰, x_i⁰ , x_i+1⁰, …, x_n⁰ ) "i

Пояснение к определению 1: ситуация равновесия по Нэшу является устойчивой ситуацией, т.к. ни одному игроку не выгодно в этой ситуации изменять свой выбор – при смене своей стратегии (если i-тый игрок использует произвольную стратегию x_iвместо входящей в ситуацию равновесия x_i⁰) его выигрыш уменьшается. Таким образом, ни одному игроку не выгодно в одиночку менять свою стратегию, а соглашения между игроками в бескоалиционной игре запрещены.

Определение 2. Стратегия игрока, входящая хотя бы в одну ситуацию равновесия по Нэшу, называется равновесной стратегией.

Неравенства из определения 1 можно записать для ситуации равновесия в чистых стратегиях для биматричной игры с матрицами выигрыша А и В.

Определение 3. Ситуация биматричной игры x⁰= (i⁰, j⁰)называется ситуацией равновесия по Нэшу, если

a_{i j0} < a_{i0 j0} "i b _{i0 j} < b_{i0 j0} "j

Рассмотрим алгоритм нахождения ситуации равновесия в чистых стратегиях на примере биматричной игры «Семейный спор» (из примера 1):

1)находим наибольшие выигрыши для первого игрока – это максимальные элементы по столбцам матрицы А;

2) находим наибольшие выигрыши для второго игрока – это максимальные элементы по строкам матрицы В;

3) элементы обобщённой матрицы, для которых оба выигрыша являются наилучшими для первого и второго игроков, являются ситуацией равновесия в чистых стратегиях.

Ситуациями равновесия являются ситуации (Ф, Ф) и (Т, Т) с выигрышем (4,1) и (1,4).

Проверим, что эти ситуации действительно являются ситуациями равновесия, и игрок, отклоняющийся от этой ситуации, уменьшает свой выигрыш.

Если изменяет свою стратегию первый игрок, то из ситуации ( Ф, Ф ) он переходит в ситуацию ( Т, Ф), а его выигрыш становится равен 0 вместо 4; из ситуации ( Т, Т ) переходит в ситуацию ( Ф, Т) и его выигрыш становится равен 0 вместо 1.

Аналогично, если изменяет свою стратегию второй игрок, то из ситуации ( Ф, Ф ) он переходит в ситуацию ( Ф, Т ), а его выигрыш становится равен 0 вместо 1; из ситуации ( Т, Т ) переходит в ситуацию ( Т, Ф) и его выигрыш становится равен 0 вместо 4.

Замечание: ситуации равновесия можно находить сразу по обобщённой матрице, при этом по первым компонентам находим максимум по столбцам, по вторым компонентам – максимум по строкам. Пара, в которой выделены и первая, и вторая компонента, будет являться ситуацией равновесия.

Для биматричной игры «Производство конкурирующей продукции» (из примера 2)с обобщённой матрицей выигрышей

по первым элементам каждой пары находим максимум по столбцам (в первом столбце 5, во втором 0), по вторым элементам находим максимум по строкам (в первой строке 5, во второй 0). Эти элементы образуют две пары, следовательно, ситуациями равновесия являются ситуации (Б,М) и (М,Б) с выигрышем ( 5, 0) и ( 0 ,5).

Для биматричной игры «Дуополия» (из примера 5)с обобщённой матрицей выигрышей

максимальные элементы по столбцам для первого игрока (в первом столбце 0, во втором 8) и максимальные элементы по строкам для второго игрока (в первой строке 0, во второй 8) входят одновременно только в одну пару ( 0, 0). Следовательно, ситуацией равновесия является ситуация ( Н, Н ) с выигрышем ( 0, 0).

Для биматричной игры «Проникновение на рынок» (из примера 4) с обобщённой матрицей выигрышей

максимальные элементы по столбцам для первого игрока (в первом столбце 1, во втором 2) и максимальные элементы по строкам для второго игрока (в первой строке 5, во второй 1) не образуют пары, следовательно, ситуаций равновесия в чистых стратегиях в этой игре нет.

Действительно, если стратегия фирмы А была разгадана фирмой В, то в этой ситуации отклонение выгодно для фирмы А, в противном случае отклонение выгодно для фирмы В.

Аналогично матричным играм, в биматричных играх также можно перейти от однократной игры к её повторению несколько раз и, соответственно, рассматривать смешанные стратегии и средний выигрыш в расширенной биматричной игре.

Нахождение ситуации равновесия в смешанных стратегиях.

Определение 1. Пусть первый игрок использует смешанную стратегию X = (p₁, …, p_m), а второй игрок – смешанную стратегию Y = (q₁, …, q_n), тогда средний выигрыш первого игрока в расширенной биматричной игре:

v_A = H₁(X, Y) = X × A × Y^T,

средний выигрыш второго игрока в расширенной биматричной игре:

v_B = H₂(X, Y) = X × B × Y^T

Определение 2. Ситуация биматричной игры (X⁰, Y⁰) называется ситуацией равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях, если

H₁(X, Y⁰) < H₁(X⁰, Y⁰) и H₂(X⁰ , Y) < H₂(X⁰, Y⁰) " X,Y

Теорема Нэша. Любая биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях.

В отличие от матричных игр, биматричная игра может иметь ситуацию равновесия, как в чистых, так и в смешанных стратегиях.

В биматричной игре «Семейный спор» существует две ситуации равновесия по Нэшу в чистых стратегиях (Ф, Ф) и (Т, Т) с выигрышем (4, 1) и (1, 4). Найдём ситуацию равновесия и средний выигрыш в смешанных стратегиях для этой игры.

Пусть смешанная равновесная стратегия имеет вид X = ( p₁, p₂ ) = ( p, 1-p )

Найдём значение p из следующего свойства:

Утверждение. Ситуация в смешанных стратегиях является ситуацией равновесия Û ситуация устойчива относительно всех отклонений в чистых стратегиях от этой ситуации.

Смысл утверждения: если первый игрок использует смешанную равновесную стратегию X, то выигрыш второго игрока должен быть одинаковым при любой его стратегии, т.е. выбор стратегии вторым игроком не даёт ему никаких преимуществ. Тогда достаточно обеспечить равенство выигрыша второго игрока при использовании чистых стратегий Y₁ = ( 1, 0) и Y₂ = ( 0, 1).

Получаем матричное уравнение следующего вида:

Подставляем значения X, В, Y₁ и Y₂, получаем:

Перемножаем, получаем уравнение:

p = 4 – 4p

p = 4/5

Следовательно, смешанная равновесная стратегия первого игрока –- X = (4/5, 1/5).

Аналогичным образом находим равновесную смешанную стратегию для второго игрока. Применение равновесной смешанной стратегии Y = ( q₁, q₂ ) = (q, 1-q ) должно обеспечивать равный выигрыш первого игрока при использовании чистых стратегий X₁ = ( 1, 0) и X₂ = ( 0, 1), т.е.

X₁ × А × Y = X₂ × А × Y

Перемножаем, получаем уравнение:

4q = 1 – q

q = 1/5

Следовательно, смешанная равновесная стратегия второго игрока - Y = ( 1/5, 4/5).

Определим выигрыш первого и второго игроков при использовании этих равновесных смешанных стратегий:

Получили ситуацию равновесия в смешанных стратегиях для игры «Семейный спор»: смешанные равновесные стратегии X = (4/5, 1/5) и Y = ( 1/5, 4/5) с выигрышем ( v_A , v_B ) = ( 4/5, 4/5 ).

Замечание 1: при использовании равновесных смешанных стратегий игроки получили средний выигрыш меньше ( 4/5 < 1 ), чем в ситуациях равновесия в чистых стратегиях (4, 1) и (1, 4), т.к. при случайном выборе стратегий могут встречаться ситуации ( Ф, Т ) и ( Т, Ф ), которые приносят обоим игрокам нулевой выигрыш, за счёт чего средний выигрыш уменьшается.

В биматричной игре «Проникновение на рынок» (из примера 4) не существует ситуации равновесия в чистых стратегиях. Проверьте (аналогично примеру с биматричной игрой «Семейный спор»), что равновесные смешанные стратегии имеют вид X = (2/9, 7/9) и Y = (3/14, 11/14), при этом средний выигрыш игроков ( v_A , v_B ) = = ( -4/ 7, 3/9 ).

Это означает, что фирма А должна использовать чистые стратегии 1 и 2 с частотами 2/9 и 7/9 , при этом она получит средний выигрыш v_A= - 4/7, а фирма В — чистые стратегии 1 и 2 с час­тотами 3/14 и 11/14, средний выигрыш равен, соответственно, v_B = 3/9. При отклонении одной из фирм от указанных смешанных стратегий отклонившаяся фирма уменьшает свой ожи­даемый выигрыш.

Замечание 2: использование смешанных стратегий в биматричных играх может как уменьшать ожидаемый выигрыш игроков (например, в игре «Семейный спор»), так и увеличивать его.

В этой игре существует ситуация равновесия в чистых стратегиях ( А₁, В₂ ) с выигрышем игроков ( 1, 1). Однако, если при повторении игры первый игрок будет с небольшой частотой использовать стратегию А₂, то второму игроку будет выгодно от стратегии В₂ перейти к стратегии В₁, что приведёт к увеличению выигрыша обоих игроков.

Уменьшение или увеличение выигрыша в биматричных играх при использовании случайного выбора стратегий зависит от условий игры – если игрокам выгоднее договариваться друг с другом (игра «Семейный спор»), то случайность только мешает, если же игроки находятся практически в антагонистических отношениях, то случайность помогает добиться большего выигрыша

Дата добавления: 2014-07-11; просмотров: 1750; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!