Пример построения экономико-математической модели: задача управления поставками

Любое предприятие сталкивается с задачей управления поставками, в частности, определения периодичности и объема закупок сырья и материалов.

Рассмотрим простейшее предприятие – посредник, приобретающее определенную продукцию для розничной торговли. Принципиально предприятие может закупать необходимую ему продукцию мелкими или крупными партиями. При покупке продукции крупными партиями часто существует возможность получить товар со скидкой и снижается вероятность потери потенциального покупателя из-за нехватки продукции на складе. С другой стороны, возрастает стоимость хранения продукции на складе, а оборотные средства предприятия связываются в запасах нереализованной продукции.

При покупке продукции мелкими партиями издержки, связанные с хранением продукции, будут незначительны. С другой стороны, возрастают накладные расходы, связанные с оформлением поставки (например, транспортные расходы) и повышается вероятность упущенной выгоды из-за нехватки нужной покупателю продукции. Очевидно, должен существовать компромисс между этими двумя крайностями – оптимальный размер заказа.

Рассмотрим факторы, которые потенциально необходимо учитывать при принятии решения об объеме и частоте поставок:

- спрос на продукцию;

- срок хранения товара;

- наличные денежные средства;

- затраты, связанные с размещением заказа;

- стоимость хранения продукции;

- емкость складских помещений;

- возможность получения оптовых скидок;

- потери от возможного дефицита продукции;

- устанавливаемые предприятием цены и т.д.

Очевидно, попытка учесть все эти факторы одновременно приведет к слишком сложной модели. Практика экономико-математического моделирования показывает, что целесообразно строить модель «снизу вверх», начиная с максимально упрощенной модели. После того, как характер решения «простой» модели станет ясен, в нее можно последовательно добавлять дополнительные факторы до тех пор, пока модель не приобретет должную степень реализма.

Мы тоже начнем построение модели определения оптимального размера заказа с внесения существенных сокращений в вышеприведенный список.

Предположим:

1) Спрос детерминированный и имеет постоянную интенсивность. Обозначим интенсивность спроса через D (т.е. количество товара, реализуемого за единицу времени).

2) Снимем большинство ограничений, а именно предположим, что:

- наличные денежные средства неограничены;

- объем склада неограничен;

- оптовые скидки не предоставляются;

- цены на реализуемую продукцию фиксированы и не меняются в зависимости от уровня запасов на складе;

- заказ можно пополнить мгновенно.

Теперь введем следующие (экзогенные) переменные:

– K – фиксированные затраты, связанные с размещением заказа;

– W – затраты на хранение единицы продукции за период времени;

– Y – объем заказа.

Характер изменения запасов на складе со временем при наших предположениях представлен на рис.1.1. Видно, что он будет носить циклический характер.

Исходя из экзогенных переменных, можно определить значения эндогенных. Так, продолжительность одного цикла заказа t₀ составит

Рисунок 1.1 – Динамика запасов предприятия

.

Определим полные издержки предприятия, связанные с одним циклом заказа. Они складываются из:

1) фиксированных затрат K;

2) затрат на хранение продукции. Из рис.1 очевидно, что среднее количество продукции на складе равно Y/2. Следовательно, издержки на хранение равны

.

Сформируем функцию общих издержек в расчете на единицу времени:

. (см.рис.1.2) (1.1)

Рисунок 1.2 – Издержки на приобретение продукции как функция размера заказа

Необходимым условием оптимальности является равенство нулю производной функции С(Y):

. (1.2)

Решая (1.2), получим формулу:

, (1.3)

известную также как формула Уилсона.

Из (1.3) следует, что оптимальный размер заказа возрастает с увеличением интенсивности спроса и накладных расходов; убывает с увеличением издержек на хранение продукции.

После того, как стал понятен общий характер решения, модель можно усложнять, делая ее тем самым более реалистичной.

Для начала смягчим предположение о немедленной доставке продукции. Предположим, что время выполнения заказа равно L. Изобразим эту ситуацию на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 – Управление поставками при заданном сроке исполнения заказа

Очевидно, что модель принципиально не изменилась; необходимо заказывать продукцию в объеме Y^* за L единиц времени до того момента, как продукция на складе закончится. Поскольку правило принятия решения в такой форме не слишком удобно для практической реализации, обратим внимание на то, что при детерминированном спросе период времени однозначно определяет количество реализованной продукции. За L единиц времени предприятие реализует единиц продукции. Значит, правило управления поставками можно сформулировать следующим образом:

Заказать продукцию в объеме Y^* в тот момент, когда на складе останется единиц продукции.

Теперь учтем возможность приобретения продукции со скидкой. Для простоты ограничимся случаем, когда существует всего один уровень заказа, при котором предоставляется скидка. Стоимость единицы продукции, таким образом, составит:

где q – объем заказа, при котором предоставляется скидка.

К полным затратам в предыдущей модели надо добавить теперь затраты, связанные с приобретением продукции, поскольку они будут варьироваться в зависимости от размера заказа:

(1.4)

(Затраты на приобретение в пересчете на единицу времени составят ).

Функции и имеют один и тот же общий вид, отличаясь лишь на константу. Следовательно, точка минимума этих кривых совпадает и равна .

В зависимости от расположения точки q возможно несколько вариантов общего вида функции издержек, показанные на рис.1.4. Можно выделить три случая:

Рисунок 1.4 – Издержки обслуживания заказа при наличии оптовых скидок

1) если скидка предоставляется при малом объеме заказа ( ), менять ничего не надо – просто предприятие получит товар по более выгодной цене;

2) если скидка предоставляется при очень большом объеме заказа ( ), выигрыш от меньшей закупочной цены не оправдывает роста издержек на хранение продукции, и оптимальный объем заказа останется равным ;

3) если же q сравнимо по величине с , необходимо заказывать продукцию в объеме равном q.

Для определения наилучшего варианта целесообразно ввести «критическую точку» Q как решение уравнения

.

Тогда оптимальное правило управления заказами будет иметь вид:

1) если или , оптимальный объем заказа равен ;

2) если , оптимальный объем заказа равен q.

Продолжая подобным образом, мы сможем добиться все большего реализма модели. Однако, как видно из рассмотренного выше примера, ценой реализма является возрастание сложности модели и структуры решения. Компромисс между простотой и реализмом – основная проблема при разработке экономико-математических моделей.

Дата добавления: 2014-07-14; просмотров: 635; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!