МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ (ТЕОРЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ)

Все линейные цепи обладают важным свойством, позволяю­щим упростить анализ таких цепей, а именно: отклик линейной цепи ни сумму многих воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие по отдельности. По сути, это есть форму­лировка фундаментального положения теории цепей, называемого методом наложения (су­перпозиции)

Принцип суперпозиции вытекает из теории линейных дифференциальных урав­нений с постоянными коэффициентами. Именно к таким уравнениям сводятся задачи анализа процессов в линейных цепях. Предположим, что требуется вычислить функцию s(t) (это может быть ток или напряжение), представляющую собой реакцию линейной цепи на внешнее воздействие f(t). Для линейной це­пи функция s(t) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению с по­стоянными коэффициентами (3.1). Пусть внешнее воздействие – функция f(t) из правой части уравнения (3.1) – представляет собой сумму двух функций: f(t) = f₁(t) + f₂(t). В теории линейных дифференциальных уравнений с постоян­ными коэффициентами утверждается, что, когда справа стоит f₁(t) или f₂(t), допустимо решать уравнение (3.1) порознь для разных правых частей. Пусть в первом случае решением будет s₁(t), а во втором: s₂(t). Тогда сумма двух реше­ний – s(t) = = s₁(t) + s₂(t) – окажется решением исходного уравнения с правой частью f(t), представимой в виде: f(t) = f₁(t) + f₂(t).

Очевидное свойство линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: умножение f(t) на постоянное число А влечет умножение реше­ния s(t) на то же число А.

При использований принципа суперпозиции разбиение сложного сигнала на про­стейшие сводится к мысленной замене единого источника сложной по форме ЭДС на совокупность последовательно соединенных источников ЭДС, вырабатывающих тестовые сигналы. Это могут быть, например, источники гармонических напря­жений разной амплитуды, частоты и начальной фазы или источники ступеней напряжения определенной высоты, возникающих в определенные моменты вре­мени. Таких источников может быть сколь угодно много (при мысленном пред­ставлении). Идеальный источник тока сложной формы при аналогичном подходе заменяют совокупностью параллельно соединенных источников тока. Эти источ­ники генерируют токи простейшей формы, характеризуемые определенными па­раметрами, например высотой ступени и моментом времени скачка тока.

Выделение единственного источника простейшего сигнала из многих, форми­рующих в совокупности сложный исходный сигнал, сводится к исключению про­чих источников. Исключение источников выполняют следующим образом: источники ЭДС заменяют идеальными проводниками, источники тока – раз­рывами цепи.

Сказанное выше о замене многих источников на единственный и исключении ос­тальных касается независимых источников тока и напряжения. Если в цепи присут­ствуют зависимые источники тока или напряжения (линейные элементы), то при всех преобразованиях, производимых мысленно над цепью, эти источники сохраня­ются в составе цепи.

Таким образом, в тех случаях, когда в линейной ЭЦ действует два или более источника электрической энергии, результирующая реакция (ток и напряжение) может быть получена как сумма отдельных реакций (наложение) от поочередного действия каждого отдельно взятого источника, в то время как действия других источников равны нулю, а они сами заменены их внутренними сопротивлениями. Источник ЭДС, который мы считаем равным нулю, означает E_n = 0, что эквивалентно замене его закороченной ветвью. Источник тока, который мы считаем равным нулю, означает J_n = 0, что эквивалентно замещению источника тока разомкнутой ветвью.

ПРАВИЛО ЗНАКОВ. Реакции цепи, совпадающие по направлению с результирующей реакцией, берутся со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Метод наложения применяется для обоснования других методов анализа, в частности метода компенсации и когда в схеме с несколькими источниками изменяются параметры одного из них.

Пример. В ЭЦ (рис. 4.1) рассчитать напряжение U₀ методом наложения.

Разобьем решение задачи на три этапа: расчет ЭЦ от каждого источника в отдельности (два этапа) и наложение решений (третий этап).

Из рис. 4.2а по правилу деления токов (примечание 1) получаем реакцию цепи U₀₁ на действие только источника тока J₁:

Из (рис. 4.2б) по правилу деления напряжения (примечание 2) получаем реакцию цепи U₀₂ на действие только источника ЭДС Е:

Далее, используя метод наложения, получим результирующую реакцию (искомое U₀), как сумму отдельных реакций:

Если в рассматриваемой схеме один из источников, например Е, будет принимать различные значения и при этом требуется определить изменения U₀, то для этого достаточно рассчитать U₀₂ при заданных Е и воспользоваться последним выражением, где U₀₁ всегда будет постоянной величиной.

Примечание 1. Правило деления токов. По этому правилу можно определить токи, протекающие через параллельно включенные резисторы R₂ и R₃ (рис. 4.3), если известен входной ток I₁ или известно значение ЭДС Е:

Примечание 2. Правило деления напряжения. По этому правилу можно рассчитать выходное напряжение U₂ (рис. 4.4), если известны входное напряжение U₁ и сопротивления двух последовательно соединенных резисторов R₁ и R₂.

Дата добавления: 2014-07-19; просмотров: 814; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!