Выпуклость и вогнутость

Пусть функция дифференцируема в любой точке интервала (a, b). Тогда существует касательная к графику функции в любой точке графика.

Определение 4. Непрерывная функция называется выпуклой вниз (т.е. вогнутой) (рис.3), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной к графику на интервале (a, b). И называется выпуклой вверх (рис.4), если все точки кривой лежат ниже этих касательных.

Рис.3 Рис.4

Теорема 4.

Если функция имеет на интервале (a, b) конечную вторую производную и во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз (вогнут). Если во всех точках х интервала (a, b), то график данной функции имеет выпуклость, направленную вверх.

Определение 5. Точки, при переходе через которые функция меняет направление выпуклости, называются точками перегиба функции .

Определение 6. Точка называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки х₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема 5. (необходимое условие существования точки перегиба).

Если функция дважды дифференцируема в точке , непрерывна в этой точке, и ее график имеет перегиб в точке , тогда .

Теорема 6. (достаточное условие существования точки перегиба).

Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и пусть , либо , либо не существует, тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки х₀, то график функции имеет перегиб в точке .

Замечание. Точка разрыва не является точкой перегиба, хотя при переходе через нее кривая зачастую меняет направление выпуклости.

5. Асимптоты

Определение 7. Прямая называется асимптотой для кривой , если расстояние от точки М, лежащей на кривой, до прямой стремится к нулю при удалении точки М от начала координат в бесконечность.

Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение 8. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено хотя бы одно из условий:

т.е. точка является точкой разрыва второго рода.

Определение 9. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если .

Определение 10. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции если существуют числа k и b такие, что

, .

Замечание. Если оба предела существуют и конечны (т.е. равны числам), причем , то существует и наклонная асимптота. Если k = 0, то получим горизонтальную асимптоту. Если или , то наклонных асимптот не существует.

6. План исследования графика функции

1. Найти область определения функции.

2. Найти область непрерывности функции и точки разрыва. Определить характер точек разрыва.

3. Найти нули функции (точки пересечения с координатными осями).

4. Установить, не является ли график функции симметричным относительно какой-нибудь прямой (или координатной оси) или точки, т.е. проверить, является функция четной, или нечетной, или ни той и ни другой.

5. Проверить функцию на периодичность.

6. Найти промежутки монотонности и экстремумы.

7. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

8. Найти асимптоты.

9. Найти несколько дополнительных значений функции.

10. Построить график.

Дата добавления: 2014-11-01; просмотров: 489; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!