Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением F(x, y) = 0.

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у'_х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'_х.

Пример 1. Вычислить у'_х.

у⁵+ху-х² = 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у⁴у'+у+ху'-2х=0. Выразим у'. y'(5у⁴+х) = 2х-у, у' =(2х-у)/(5у⁴+х).

Пример. Вычислить по определению производную функции в произвольной точке .

Решение. Берем , и рассматриваем .

При (по первому замечательному пределу ), поэтому существует предел . Здесь мы воспользуемся непрерывностью функции при всяком , .

Пример.Найти , если

Решение. Берем . Тогда соответствующее приращение функции в точке есть

, .

Поэтому (по теореме о произведении ограниченной функции на бесконечно малую). Итак, .

Пример. Написать уравнение касательной прямой к параболе в точке .

Решение. Поскольку , то уравнение или задаёт искомую касательную .

Итак, если для функции существует – конечное число, то существует единственная касательная (наклонная или горизонтальная прямая) к графику этой функции в точке .

Обратное утверждение неверно, т.е. график функции может иметь в точке единственную касательную (вертикальную прямую), но при этом – не является конечным числом (не существует).

Пример. Для при имеем и не существует, но касательная к в точке существует и совпадает с осью (касательная единственная!).

Если для функции существует , то говорят, что – дифференцируемаяв точке функция.

Функция называется дифференцируемой на промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

"Склеивание" частей графиков непрерывных функций часто приводит к появлению точек, в каждой из которых можно построить две касательные к графику (слева и справа от точки), т.е. производная функции в этих точках не существует (функция, не дифференцируемая в этих точках).

Пример. Для в каждой из точек и существует две касательные; их уравнения легко находятся: например, в точке и (дифференцируем функции для и для и вычисляем для каждого случая). Функция не имеет производных в точках и .

За угол между кривыми принимается угол между касательными к кривым, проведенным в точке пересечения; , здесь , , – абсцисса точки пересечения.

В примере , .

Задача 3. Техника Дифференцирования – формальное вычисление производных функций по правилам и формулам.

Пусть для функций и на существуют производные функции, – произвольная постоянная; тогда на существуют производные суммы, произведения и частного этих функций (частное при условии на ), причем справедливы тождества:

; ; ;

; ;

; .

Если для функции , , существует на , то существует обратная функция , производная которой существует и определяется по формуле

.

Если для функции , , существует производная функция на , а для функции , существует производная функция на , то для сложной функции существует производная, причем

.

9. Лекционное занятие. Дифференцирование сложных функций и функций, заданных неявно и параметрически. 1

9.1 Функции, заданные параметрически, и их производные. 1

9.2 Дифференцирование функций, заданных неявно. 2

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 420; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!