Функции, заданные параметрически, и их производные

Пусть зависимость между аргументом и функцией задана при помощи уравнений , где вспомогательная переменная, называемая параметром. Будем предполагать, что функция имеет обратную функцию . Тогда равенства определяют сложную функцию аргумента , заданную параметрическими уравнениями.

Теорема. Пусть функция задана параметрическими уравнениями , где дифференцируемые функции, причем и функция имеет обратную. Тогда функция ─ дифференцируема, а ее производная находится по формуле: . Если при этом функции дважды дифференцируемы, то существует производная второго порядка , причем .

Доказательство. Как уже отмечалось, равенства (8.5) определяют сложную функцию , где . По правилу дифференцирования сложной функции и обратной функции .

Аналогично .

Пример. Найти для функции , заданной параметрическими уравнениями .

Решение. Используем полученные формулы:

, .

Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 385; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!