Как подбирать математические модели?

Стремление сначала понять все до самого конца, а потом уже работать – очень частая причина неудач

А.Б.Мигдал

Формирование математической модели физического явления – во многом дело интуиции. Очевидно, при этом модель будет построена не выше того уровня нашего восприятия этого явления, чем тот, который поддерживается известными, имеющими к нему отношение законами природы. Схематизировать формирование математической модели и обучать ее построению по схеме невозможно, наверно пока не открыт «универсальный закон природы» («окончательная теория»), или не решена «шестая проблема Д.Гильберта» - а именно, проблема аксиоматизации физики. Решением этой проблемы становится наличие конечного количества базовых аксиом. Отталкиваясь от универсального закона или от ансамбля базовых аксиом, можно выстраивать физические конструкции, моделирующие изучаемые явления, и искать их математические аналоги. А наличие полного математического описания универсального закона или терминологически увязанных базовых аксиом сделает построение математических моделей явлений результатом исключительно математических преобразований. Возможно, тогда можно пытаться эту работу программировать. Заслуживают внимания, как те, кто в это верит, так и те - кто в это не верит.

Не ставится целью создать исследовательскую модель, в частности, математическую модель, объекта или явления в целом. Строится модель одного из проявлений объекта. И она ложится в основу формулировки исследовательской задачи или узкого класса исследовательских задач об этом конкретном проявлении объекта.

Формирование математической модели заключается в фиксации характера взаимодействия исследуемого проявления объекта с его параметрами в математических терминах, в виде математических соотношений. Причем среди многих параметров реального объекта для участия в математической модели выбирают те, которые существенно влияют на его изучаемое проявление.

Исследовательская задача, как правило, заключается либо в прогнозировании проявления некоторых качеств объекта, либо в предсказании условий состояния объекта, в которых его проявления наилучшим образом устроят человека (это т.н. управление параметрами объекта, поиск условий его оптимального состояния).

Классический путь математического моделирования в задачах прогнозирования физических явлений подразумевает привлечение в качестве идеи (постулата) математической модели фундаментального закона (законов) природы. К ним относятся принцип наименьшего действия (наименьшего пути, наименьшего времени, наименьшего импульса, наименьшей энергии…) и принцип сохранения (сохранение энергии, сохранение материи, сохранение импульса, сохранения движения, теплового баланса, сохранение момента …).

Конечно, ключевым являетсявопрос, какой закон (законы) при моделировании конкретной практической задачи следует применить и как это сделать. При этом вряд ли исследователю следует ограничивать поиск базовой идеи математической модели из фундаментальных законов природы. В качестве идеи математической модели проявления объекта могут быть выбраны разные наблюдаемые факты, представления о нем, аналогии его проявления с проявлениями уже изученного явления. Но возможность выбора при математическом моделировании классического пути, а именно, с использованием фундаментальных законов, обоснованно придает исследователю комфортность, уверенность в выборе неошибочного, гармоничного, лаконичного пути решения поставленной задачи.

Один закон ложится в идейную основу математической модели изучаемого проявления объекта, определяет ее физический смысл, другой, исполняющий роль т.н. закона состояния, в этой же математической модели устанавливает правила, взаимосвязи, которым следует это проявление или его отдельные характеристики.

Корректно построенная математическая модель становится формулировкой исследовательской математической задачи. Часто обнаруженная «математическая» некорректность получающейся математической задачи помогает найти некорректность в постановке изначально приведшей к ней практической задачи. Итак:

Рассмотрим пример. Проследим за построением математической модели траектории полета брошенного камня и за решением нескольких простых практических задач, использующих в своей формулировке эту модель.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 153; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!