Задача о траектории брошенного камня

Сложность освоения каждого раздела науки главным образом в том, что часто нелегко понять смысл количественных характеристик, введенных там для описания поведения изучаемых объектов. В этой задаче механики такими характеристиками являются скорость, время, траектория, ускорение, масса, энергия.

Пусть камень массой m, брошен в гравитационном поле с высоты в горизонтальном направлении (т.е. в направлении, перпендикулярном действию гравитационной силы) со стартовой скоростью v_гор. В этой задаче будем полагать, что силы сопротивления воздуха отсутствуют.

Построим математическую модель траектории полета брошенного камня.

Сделаем предположение, что в каждый момент своего полета камень двигается в направлении касательной к траектории движения. Обозначим скорость его движения в любой точке траектории за v.

Попробуем построить математическую модель траектории брошенного камня в виде уравнения относительно искомой функции y(x).

Основной идеей нашей математической модели траектории брошенного камня станет сохранение направления движения камня в любой точке траектории его полета, всегда по касательной к траектории падения камня. А тангенс наклона касательной в каждой точке траектории мы вправе вычислять из соотношения:

Можем перейти к дифференциальной зависимости двух ортогональных составляющих вектора скорости. Воспользовавшись геометрическим толкованием понятия первой производной, запишем:

(1.1)

Горизонтальная составляющая скорости летящего камня v_гор - это константа, заданная в условии нашей задачи. Величина вертикальной составляющей скорости летящего камня v_грав увеличивается с потерей камнем высоты, а значит, безусловно зависит от пройденного им расстояния y. Чтобы получить формулу для определения v_грав в любой точке полета, нужно сформулировать полезное в этом случае правило, которому следует обладающее массой падающее тело. Это правило, устанавливающее взаимосвязь между используемыми в задаче количественными характеристиками падающего тела (его закон состояния), может быть установлено из проведенных с камнем экспериментальных наблюдений или аргументировано неким заранее изученным и проверенным законом природы. Таким законом состояния падающего тела в этой задаче станет закон сохранения энергии: В любой точке траектории в принятой неподвижной (инерциальной) системе координат xOy энергия тела массой m сохраняется постоянной:

Здесь g - ускорение свободного падения тела, v_грав – гравитационная составляющая скорости тела, набранной в принятой системе координат, h - высота положения камня относительно некоторой зафиксированной в системе xOy точки (например, C см. рисунок). При этом, очевидно, h = H – y, где H – ордината (по оси Oy) выбранной фиксированной точки C.

Падая и набирая скорость в поле постоянных гравитационных сил, тело теряет потенциальную энергию, приобретая в таком же количестве кинетическую, т.е. к любому моменту его положения:

(1.2)

Поскольку в нашей задаче m, g и H – константы: , мы можем написать:

(1.2а)

Далее, из (1.2а) следует, что в любом положении тела в координатах x и y, при начальной скорости падения тела (скорости v_грав в точке O) равной нулю:

(1.2б)

Формула для вычисления гравитационной составляющей скорости полета камня теперь установлена:

(1.3)

а выстраиваемая нами зависимость (1.1) приобретает вид дифференциального уравнения:

(1.1а)

Для простоты обозначив в (1.1а)

(1.4)

запишем уравнение (1.1а) в виде

(1.1б)

и приступим к его решению. Переписав (1.1б) в виде:

(1.1в)

проинтегрируем обе его части:

и получим

или (1.1г)

где С – константа интегрирования.

Нас интересует действие уравнения (1.1) - (1.1г) только в положительной четверти системы координат xOy. Поэтому, мы можем записать его решение, возведя (1.1г) в квадрат:

(1.5)

Определим значение константы С, соответствующее исходным условиям постановки нашей задачи. Поскольку в условии задачи мы совместили стартовую точку полета камня с началом принятой декартовой системы координат, мы вправе считать, что

при x = 0, y = 0. (1.5а)

Уравнение (1.5) описывает искомую траекторию камня при любом его положении справа от точки старта, т.е. при x ≥ 0. Оно должно быть справедливо и при x = 0. Значит, если подставить (1.5а) в общее решение (1.5):

,

оно должно стать тождеством, откуда, поскольку (см. обозначение (1.4)), то С = 0.

Таким образом, согласно условиям и допущениям задачи, а также введенному обозначению (1.4), траекторией брошенного камня является парабола, а именно график функции вида y = y(x):

(1.5б)

Уравнение (1.1а) и его частное решение – функция y(x) (1.5б) представляют математическую модель траектории полета брошенного тела.

Теперь сформулируем и решим ряд задач с применением решения (1.5б). Задача на прямое использование (1.5б) может звучать, например, так:

Пример 1

С какой высоты h следует бросить камень в горизонтальном направлении со скоростью v_гор, чтобы он упал на расстоянии b (см. нижний рисунок).

Если пренебрегать силой сопротивления воздуха, траектория полета не будет зависеть от массы камня. Решение, очевидно, определится по формуле:

(1.5в)

Пример 2

Бомбардировщик летит на высоте h = 500м над землей со скоростью v_гор = 800 в направлении цели А. На каком расстоянии b от цели А летчику следует сбросить бомбу?

Поставленную таким образом задачу называют обратной по отношению к (1.5б), (1.5в). Ниже (на странице 44) мы обсудим суть таких задач подробнее. Помня, что рассматриваем решение в положительной четверти декартовой системы координат, из (1.5в) получим однозначную обратную зависимость

(1.6)

Пренебрегая силой сопротивления воздуха, найдем по этой формуле решение задачи

Пример 3

С какой силой P_гор следует бросить в горизонтальном направлении камень массой m = 500г, чтобы с высоты h = 10м попасть в цель А, удаленную по горизонтали на расстояние b = 16м?

Сведем эту задачу к такой, которая может быть решена с использованием моделирующей траекторию брошенного камня формулы (1.5б). Тогда нам надо сначала выяснить, с какой скоростью v полетит камень массой m, если его бросить с силой P. А это зависит от того, за какое время t своего действия сила P в результате разгоняет камень до скорости v.

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует

Второй закон Ньютона

Таким образом, в этом примере нужно дополнить постановку задачи недостающей информацией. Пусть камень разгоняется силой P (до скорости v) в течение 2 секунд. За время t = 2с сила P передаст камню свой импульс, равный S = P ∙ t , и тем самым сообщит ему количество движения

Тогда набранная скорость будет равна

Эта задача, тоже как и предыдущая, является обратной по отношению к (1.5б). Из (1.6):

откуда, получим формулу, по которой найдем решение задачи

Свое решение задачи о траектории падающего камня И.Ньютон считал принципиальным. Целью его было построение математической модели траектории движения одной планеты вокруг другой. А это, очевидно, задача о брошенном камне, но в полете, с уже изменяющимся (в декартовой системе координат) направлением вектора гравитации v_грав (см. рисунок).

если бы мы располагали полной информацией обо всех событиях в мире независимо от того, где и когда они происходят, то законы физики, а в действительности и любой другой науки, были бы нам не нужны.

Эуген Вигнер

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 522; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!