Отделение корней

Универсальных приемов решения этой задачи пригодных для любых уравнений, не существует.

Рассмотрим, известные из курса высшей математики графический и аналитический способы.

Графический метод.

Строится график функции f(х), а потом на оси отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох.

Или более простой способ: сначала заменяется уравнение (1) равносильным ему уравнением

Затем строятся графики функций , в одной системе координат и на оси отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Аналитический способ. При решении задачи отделения корней используют следующие утверждения:

1 Если непрерывная на отрезке [а;b]функция f(x)принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(а)·f(b) < 0), то уравнение (1) имеет на этом отрезке, по крайней мере, один корень.

2 Если функция f(x) к тому же ещё и монотонна, то корень на отрезке [a;b] единственный.

Пример 1. Провести отделение корней уравнения . Преобразуем заданное уравнение к равносильному уравнению и построим графики функций и в одной системе координат (рисунок 1).

Рисунок 1 – Графический способ

Из графика видно, что уравнение имеет три корня, расположенных на отрезках

[-1.8;-1.4], [2.1;2.2], [6;6,5].

Проверим аналитически существование корня на отрезке [-1.8; -1.4]. Функция на концах отрезка принимает значения разных знаков: , , что подтверждает существование корня.

Рассмотренные выше положения можно использовать для последовательного отделения всех корней уравнения (1). Пусть известно, что все интересующие нас корни находятся на отрезке [А;В], на котором функция f(x)определена и непрерывна. Тогда для отделения корней будем вычислять значения f(x), начиная с точки х = А, двигаясь вправо с некоторым шагом h до тех пор, пока не достигнем правого конца отрезка(рисунок 2). Если на концах частичного интервала [x;x + h] функция f(x), будет монотонной и будет иметь разные знаки, то отрезок [x;x + h] будем считать отрезком, содержащим корень.

Рисунок 2 – Отделение корней на всем отрезке

Заметим, что следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения , чтобы избежать ситуаций, изображенных на рисунке 3.

Рисунок 3 – Случаи неправильного выбора шага

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 255; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!