Идея метода

Пусть в некотором пространстве, назовем его рецепторным пространством и обозначим через X, каждому объекту соответствует точка; классам объектов в этом пространстве соответствуют непересекающиеся области; задача сводится к построению по показываемым точкам и по сообщаемой о них информации такой поверхности, которая разделяет эти области, т.е. функции, принимающей положительные значения на точках из одной области и отрицательные - на точках из второй области.

Введем в рассмотрение функцию двух переменных K(x,y), где x и y - точки пространства X. Если зафиксировать точку y = x*, то функция K(x,x*) станет функцией точки пространства Х и будет зависеть от того, как выбрана точка х*. Примером подобной функции в физике является потенциал, определенный для любой точки пространства, но зависящий от того, где расположен источник потенциала. Имея в виду эту аналогию, назовем функцию К(х,у) потенциальной функцией. Для упрощения наглядной интерпретации задачи будем считать, что в пространстве Х каким-либо введено расстояние между точками и что в качестве потенциальной функции К(х,у) выбрана некоторая функция, удовлетворяющая условиям:

а) функция К(х, у) всюду положительна;

б) она убывает при удалении точки х от точки у = х*, т.е., в частности, при фиксированном х* достигает максимума при х = х*.

В качестве потенциальной функции удобно взять функцию расстояния р(х, у) между точками х и у, т.е. К = К[р(х,у)]. Выбранная функция при у = х* определяет поверхность, похожую на холм, над точками пространства Х, что иллюстрируется следующими рисунками.

Рис. 1.1. Вид потенциальной функции для случая одномерного (а) и двухмерного (б) пространства Х.

Рассмотрим теперь следующую процедуру. Пусть надо научиться относить точки к одному из двух классов, которые условно назовем w₁ и w₂. Предположим, что учителем показана точка х = х¹ и сообщено, что она принадлежит классу w₁. Примем точку х = х¹ за «источник потенциала», положив х* = х¹, т.е. построим «холм» с вершиной в этой точке и запомним, что этот холм относится к точке из w₁. При предъявлении следующих точек х^s из w₁ или из w₂, каждый раз строятся подобные же «холмы» с вершинами в показанных точках и запоминается, к какому классу, w₁ или w₂, этот холм принадлежит. Когда учитель закончит процесс обучения, сложим отдельно потенциалы, которые были построены над точками, принадлежащими к классу w₁, и над точками, принадлежащими к классу w₂, т.е. построим функции:

и (1.1)

Таким образом, в результате процедуры оказались построенными две функции К_w1(х) и К_w2(х), которые можно назвать потенциалами образов w₁ и w₂.

После окончания процесса обучения начинается «экзамен», т.е. предъявляются новые точки, и требуется определить, к какому классу они относятся. В методе потенциальных функций предлагается относить показанную на экзамене точку х = х** к w_{1 ,} если К_w1(х**) > К_w2(х**) и к w₂ при обратном знаке неравенства.

Вводя функцию

Ф(х) = К_w1(х) - К_w2(х) (1.2)

замечаем, что она разделяет знаком множества w₁ и w₂.

Если надо разделить объекты не на два, а на большее число классов, то можно совершенно аналогично строить потенциалы для всех образов порознь и при появлении в процессе экзамена новой точки относить ее к тому образу, чей потенциал в этой точке наибольший.

Представим себе теперь, что учителя нет, и что поэтому нет информации о том, к какому классу относятся показываемые в ходе обучения точки, но что эти точки берутся из непересекающихся областей w₁, w₂ и т.д. В этом случае уже невозможно отдельно выстраивать потенциал областей множеств w₁, w₂ и т.д., но если предполагать, что эти области компактны (в интуитивном понимании), то можно по-прежнему «выпускать» потенциалы К(х, х*) из всех показанных точек и построить их общий потенциал

(1.3)

Тогда эта функция будет представлять «горный ландшафт» с вершинами над областями w₁, w₂ и т.д. и «ущельями» между ними. Если теперь каким-либо методом найти «ущелья», т.е. поверхности минимума функции Ф(х), разделяющей вершины, то они будут определять области, относящиеся к различным классам. Если подобную процедуру окажется возможным реализовать, то тем самым методом потенциальных функций будет решена задача обучения без учителя.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 130; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!