Момент импульса тела относительно движущегося центра масс

До сих пор, рассматривая момент импульса твердого тела, мы определяли его относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки (например, точки закрепления тела). Во многих задачах динамики это оказывается неудобно. Например, решая задачу о диске, скатывающемся с наклонной плоскости, логично рассматривать момент импульса диска относительно его центра масс, а не относительно точки, принадлежащей наклонной плоскости.

Рассмотрим, как будут связаны моменты импульса тела, определенные относительно некоторой неподвижной точки О' и относительно центра масс тела О, движущегося произвольным образом (рис. 2.19).

Рис. 2.19.

Пусть и - радиусы-векторы элементарной массы - тела относительно точек O' и O, R - радиус-вектор, проведенный из O' в O. Эти векторы связаны между собой очевидным соотношением

(2.54)

Момент импульса тела относительно точки O' (см. формулу (2.1))

(2.55)

Воспользуемся очевидными равенствами

(2.56)

( - масса всего тела);

(2.57)

и

(2.58)

поскольку точка О совпадает с центром масс тела. С учетом (2.56 - 2.58) из (2.55) получим

(2.59)

где - полный импульс тела в лабораторной системе XYZ, - скорость i-ой массы относительно центра масс.

Если момент импульса тела относительно его центра масс (относительный момент импульса) определить как

(2.60)

то из (2.59) следует искомое соотношение

(2.61)

Еще раз подчеркнем, что при определении момента импульса тела относительно его центра масс (величина (следует брать относительные скорости всех точек тела, то есть скорости точек тела относительно центра масс, считая его как бы неподвижным.

Замечание. Соотношение (2.61) позволяет также связать моменты импульса относительно двух параллельных осей, одна из которых неподвижна, а другая проходит через центр масс движущегося тела.

Обратимся к примерам.

1. Момент импульса цилиндра, скатывающегося без проскальзывания с наклонной плоскости, относительно его оси равен ( - момент инерции цилиндра относительно его оси, - мгновенная угловая скорость вращения цилиндра). Момент импульса того же цилиндра относительно мгновенной оси вращения, проходящей через точку касания цилиндра и плоскости, будет равен где - момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения, - радиус цилиндра.

2. Если шару массы сообщить скорость обеспечивающую движение по круговой орбите вокруг гравитационного силового центра O', то он будет двигаться поступательно а его момент импульса относительно O' (рис. 2.20а). Если при этом шар будет вращаться вокруг собственной оси с угловой скоростью как показано на рис. 2.20б, то постоянный относительно точки O' момент импульса шара будет равен

Рис. 2.20.

Расчеты показывают, что момент импульса планет Солнечной системы относительно собственного центра масс значительно меньше их орбитального момента импульса. Орбиты всех планет лежат приблизительно в одной плоскости, так что их орбитальные моменты импульса складываются арифметически. Интересно, что все 9 планет движутся вокруг Солнца в одном и том же направлении, так что суммарный момент импульса Солнечной системы отличен от нуля.

Назад| Вперед

Физический факультет МГУ