Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Определения и понятия, которые известны из школьного курсаЭлектронный образовательный ресурс Учебно-методическое пособие к самостоятельному изучению КУРС ЛЕКЦИЙ «МАТЕМАТИКА (модуль 2)» для студентов 1-го курса отдельных разделов дисциплины «Математика» (Для студентов всех форм обучения)
Авторы (составители):
к.т.н., доцент О.А. Алейникова
Рассмотрен и рекомендован для использования в учебном процессе на 2012/2013 – 2017/2018 уч. г. на заседании Кафедры «Математика». Протокол № 1 от 03 09 2012 г.
Шахты 2012
1. Множество – совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь признаку. Его объекты – элементы. Множество, не содержащее ни одного элемента, - пустое (обозначается Ø). Числовые множества: , , . , , А - подмножество В. - сложение. - умножение. , , , , I – множество иррациональных чисел, десятичных непериодических дробей. 2. Соответствие (правило) f, которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией, действующий из Х в У. . Или . Х – область определения . У – область значений . Если и , это числовая функция. х – аргумент. у – функция. Задать функцию - задать правило. Три способа: аналитический, графический и табличный.
3. Если - чётная. Если - нечётная. 4. Если для любых из того, что а) , то - возрастающая на ; б) , то - не убывающая на ; в) , то - убывающая на ; г) , то - не возрастающая на ; Такие функции называются монотонными на . В случаях а) и в) – строго монотонными. 5. называется ограниченной на , если существует число М >0, что для всех выполняется . Т.е. график лежит между прямыми и . 6. называется периодической на , если существует число Т >0, что для всех и . Т – период. Основной период – наименьший. 7. Если функция взаимнооднозначная, т.е. если каждому соответствует единственный , то определена с областью определения Е и множеством значений - . Такая функция называется обратной к . . и - взаимно обратные. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой . Примеры. 8. Пусть определена на , а , , причём, каждому соответствующее значение . Тогда на определена функция , которая называется сложной функцией от ( суперпозицией или функцией от функции). - промежуточный аргумент. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов. 9. - точка максимума (минимума) функции , если найдётся для неё - окрестность: для любого : (). Это точки экстремума. Это не всегда наибольшее и наименьшее значения функции.
Основные элементарные функции. 1. Показательная: . 2. Степенная: (,,,,,). 3. Логарифмическая: . 4. Тригонометрические: , , , . 5 Обратные тригонометрические: , , , . Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных, с помощью конечного числа арифметических действий и операций «функции от функции», называется элементарной функцией. Теоремы о непрерывных функциях.
1. Всякая элементарная функция непрерывна в своей естественной области определения.
1). Многочлен непрерывен на . 2). Рациональная функция непрерывна во всех точках кроме нулей . 3). Функции , , , , непрерывны на . 4). Функция непрерывна при . 5). Функция непрерывна при . 6). Функции , непрерывны на . 7). Функции , непрерывны при . Пример. Рассмотрим функцию . Она непрерывна в точке , поэтому . 2. (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём.
3. (Больцано-Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и, то на нём она принимает и все промежуточные значения между А и В. Следствие: Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка, в которой данная функция обращается в нуль. Определение. – окрестностью (в дальнейшем просто окрестностью) точки называется интервал , . Проколотая окрестность точки – множество \. Окрестность символа : . Окрестность символа : . Окрестность символа : . Определение. Точка (или бесконечный символ) называется точкой сгущения множества , если любая окрестность точки содержит точки множества , отличные от . Пусть функция и – точка сгущения множества . Определение. Число (или бесконечный символ) А называется пределом функции при , если для любой окрестности точки А найдётся проколотая окрестность точки такая, что для любого . Обозначение: . Если в определении предела функции в конечной точке а потребовать дополнительное условие , то получим определение предела справа (слева). Обозначения:, – предел справа, , – предел слева. Графически можно изобразить, например, следующим образом: Одним из примеров числовой функции может служить числовая последовательность (). Определение предела последовательности можно дать следующим образом: Число (или бесконечный символ) А называется пределом числовой последовательности , если для любой окрестности найдётся такой номер , что для всех . Пример. Рассмотрим последовательность и покажем, что . Возьмём произвольную окрестность точки 0 и номер . Тогда при всех будет справедливо неравенство , т.е. при всех . Таким образом, . Определение. Функция называется бесконечно малой (б.м.) при , если . Определение. Функция называется бесконечно большой (б.б.) при , если функция является б.м. при . Для бесконечно большой функции . Пример. Функция при является б. б., т.к. функция – б.м. при . Отметим некоторые основные свойства пределов функции. 1. Если существует предел функции в точке а, то он единственен. 2. Для того чтобы в точке а существовал предел функции , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке у функции существовали равные односторонние пределы справа и слева. 3. Если существуют конечные пределы , , то а) ; б) , ; в) ; г) , . 4. Для того, чтобы функция имела конечный предел равный А при , необходимо и достаточно, чтобы в некоторой проколотой окрестности точки а имело место представление , где – б.м. при . 5. Если – б.м. функция при , – ограниченная функция в некоторой проколотой окрестности точки а, то – б.м. при . 6. Если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено неравенство и существуют пределы функций , при , то . Пример. Пусть – многочлен степени . Найдем . Имеем Так как и , то . Следовательно, любой многочлен степени не ниже 1 является бесконечно большой функцией на бесконечности. Отсюда, в частности, следует, что . Определение. Функция называется непрерывной в точке , если . Таким образом, чтобы найти предел непрерывной функции в точке , нужно вычислить значение функции в этой точке. Если , то функция называется непрерывной справа (слева) в точке . Отметим некоторые свойства непрерывных функций. 1) Для того чтобы функция была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна справа и слева в этой точке. 2) Если функции и непрерывны в точке , то функции +, , /() непрерывны в точке . 3) Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Определение. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества. Основные элементарные функции непрерывны в своей естественной области определения: 1). Многочлен непрерывен на . 2). Рациональная функция непрерывна во всех точках кроме нулей . 3). Функции , , , , непрерывны на . 4). Функция непрерывна при . 5). Функция непрерывна при . 6). Функции , непрерывны на отрезке . 7). Функции , непрерывны при . Пример. Рассмотрим функцию . Она непрерывна в точке , поэтому . Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Точка называется точкой разрыва функции , если функция не определена в точке или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной. Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существует конечный предел , но в самой точке функция либо не определена, либо значение функции в точке не совпадает со значением предела. Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные, не равные между собой односторонние пределы функции . Разность называется скачком функции в точке . Точка разрыва, не являющаяся точкой устранимого разрыва и точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Рассмотрим некоторые пределы, которые наиболее часто используются в дальнейшем. Определение. Предел называется первым замечательным пределом. С помощью этого предела нетрудно получить некоторые следствия: ; ; . Определение. Предел называется вторым замечательным пределом. Используя этот предел, можно получить следующие результаты: ; , в частности, ; , в частности, . При вычислении пределов часто используется эквивалентность б.м. функций. Определение. Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, если . Обозначение ~при . Используя первый и второй замечательные пределы и их следствия, можно составить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций при . ~ х х ~ х ~ х х ~ х ~ х ~ х Пусть и эквивалентные б.м. функции при и существует предел . Тогда существует =. Иными словами, при вычислении пределов можно заменять бесконечно малый множитель на эквивалентную ему функцию.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Дата добавления: 2014-02-28; просмотров: 557; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |