Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим две пересекающиеся прямые.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом , , тогда угол между ними вычисляется с помощью формулы

.

· Условие параллельности прямых имеет вид: .

· Условие перпендикулярности прямых имеет вид: , или .

Пример. Даны прямые , , . Есть между ними параллельные и перпендикулярные прямые?

Найти углы между прямыми.

Решение.

Найдем угловые коэффициенты: . Так как , следовательно, параллельных прямых нет.

Произведение угловых коэффициентов пар прямых и , и не равно -1, поэтому прямые , , не перпендикулярны. Но , то прямая перпендикулярна прямой .

Если прямые и заданы общими уравнениями и , то

v угол между ними вычисляется с помощью формулы

, (11)

где и — нормальные векторы прямых и .

v условие параллельности прямых и имеет вид

(12)

Это условие вытекает из того, что если прямые и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны, а это значит, что их соответствующие координаты пропорциональны.

v условие перпендикулярности прямых и имеет вид

(13)

Это условие вытекает из того, что если прямые и перпендикулярны, то и их нормальные векторы и тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Пример 4.4. Вычислите угол между прямыми

а) и ;

б) и ;

в) и .

а) Воспользуемся формулой (8). Подставляя в неё значения и , находим

.

Ответ: .

б) Подставим значения , , , в формулу (11):

.

Ответ: .

в) Здесь , найдём .

. Тогда .

Так как , то данные прямые перпендикулярны. (По формуле (8) получаем: ).

Ответ: .

Рассмотрим прямую и точку , не принадлежащую прямой. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле

Пример. Дана точка и прямая . Найти расстояние от точки до прямой.

Решение. Подставим координаты точки в уравнение. Получим , значит, точка не лежит на прямой. Найдем расстояние от точки до прямой: (ед.).

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 242; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!