Задача на безусловный экстремум функционала

Эту задачу отличает отсутствие всяких ограничений, что является недостатком, так как отсутствие ограничений обычно лишает задачу практического. Итак, задан минимизируе-мый функционал

Подынтегральная функция Ғ в нем дифференцируема как по х, так и по .

Требуется найти экстремаль x°(t), которая минимизирует данный функционал призаданных краевых условиях х(0), х(t) и известном значении времени Т.

Идея вывода расчетного уравнения использует предположение о том, что к экстремали добавляется дополнительная функция ŋ(t) с весовым коэффициентом α. В результате аргумент функционала получает вариацию и будет равен:

где ŋ(t) - дифференцируемая функция с нулевыми краевыми зна-чениями, т. е. ŋ(0) = ŋ(Т)= 0 (рис.2).

Соответственно функционал получает положительное приращение (вариацию), являющееся функцией коэффициента α:

Эта функция имеет экстремум - минимум при α = 0 (рис 3). Исследуя эту функцию на экстремум, Эйлер получил следующее дифференциальное уравнение для нахождения экстремалей:

Рис. 2 Рис. 3

Компактная условная запись этого уравнения имеет вид:

,

где индексы обозначают производные пo х и x’.

Уравнение Эйлера в общем случае является нелинейным уравнением второго порядка, общее решение которого содержит две постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий.

В задаче на безусловный экстремум может быть задан функционал, зависящий от нескольких функций и их первых производных:

В этом случае необходимо решить систему уравнений Эйлера

В более общем случае функционал может зависеть и от

производных высших порядков. В этом случае вместо уравнений

Эйлера составляют и решают уравнения Эйлера-ГІуассона:

где k - порядковый номер функции; п_к - порядок старшей прокз водной от хк; т - число функций.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 205; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!