ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть даны и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом .

ТЕОРЕМА: Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: по условию , отсюда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

;

или

, где

Аналогично получаем для функции , которая тоже имеет производную в точке , тогда имеем

,

следовательно

или , где

Теперь подставим значение в , получаем:

Разделим на и перейдем к пределу при .

Таким образом, получаем .

ИТАК: Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так если , , , то .

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ:

Найти производные функций:

1)

Функция является сложной, найдем ее производную:

Эту функцию можно представить в виде цепочки «простых» функций:

, где , , где , по правилу дифференцирования получаем

2) 3)

Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции

, , , ,

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 215; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!