Правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида , который основан на применении производных.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то

Коротко читают так: Предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Замечания:

1. Теорема верна и в случае, когда функции и не определены при , но и . Достаточно положить и

1. Теорема справедлива и в том случае, когда . Действительно, положив , получим пользуясь правилом Лопиталя имеем окончательно .
2. Если производные и удовлетворяют тем же условиям, что и функции и . То теорему можно применять еще раз

.

Теорема: (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Предел отношения двух бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

;

ПРИМЕРЫ:

1.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. В этом примере легче без применения правила найти предел, посмотрим

Т.е. числитель поменялся местом со знаменателем, но неопределенность сохранилась, и если применить правило вторично, то функция под знаком предела примет свой первоначальный вид. Таким образом, применение этого правила в данном случае не позволяет раскрыть неопределенность. В то же время легко установить, что

1. здесь можно сделать ошибочный вывод, что предел данной функции не существует, т.к. не существует .

На самом деле , т.к. ,имеем произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции (при ).

Раскрытие неопределенностей различных видов

Правило Лопиталя применяют для раскрытия неопределенностей , , которые называются основными. Неопределенности вида , , , , сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1) Пусть при тогда очевидны следующие преобразования

 

или

2) Пусть при тогда можно поступить так для нахождения предела при неопределенности :

 

3) Пусть при ( )

при ( )

при ( )

Для нахождения предела вида удобно сначала прологарифмировать выражение , получаем ;

Откуда используя свойство непрерывных функций получаем:

Решение можно оформить сразу, подставляя исходные данные в готовую формулу:

---

<== предыдущая страница	|	следующая страница ==>
ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ	|	П. ВОЗРАСТАЮЩАЯ, УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИИ

---

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 232; Нарушение авторских прав

---

Поделиться с ДРУЗЬЯМИ:

Мы поможем в написании ваших работ!