Замкнутая система исходных уравнений

Обычно искомыми величинами в задаче теории пластичности являются:

1. Компоненты напряжений σ_ik – ? σ_ik (x₁,x₂,x₃) - ? 6 величин

2. Компоненты деформации

ε_ik (x₁,x₂,x₃) - ? 6 величин

3. Компоненты перемещений

U_i (x₁,x₂,x₃) - ? 3 величины

Всего 15 искомых величин, которые являются координатными функциями (зависят от координат).

Исходные системы прежде всего дает МСС.

I. Уравнение статики или уравнение равновесия.

Имеем систему дифуров в частных производных от компонентов напряжений.

Система включает 6 функций σ_ik (x₁,x₂,x₃), которые однозначно определить только из этой системы невозможно. Статически неопределенная задача.

II. Геометрические уравнения (Коши)

Они дают связи между компонентами деформации и перемещения.

Система имеет 9 неизвестных величин – их надо указать – координатных функций.

ε₁₁ (x₁, x₂, x₃) 6

ε₃₁ (x₁, x₂, x₃)

U₁ (x₁, x₂, x₃) 9

U₂ (x₁, x₂, x₃) 3

U₃ (x₁, x₂, x₃)

Задача геометрически неопределимая.

Совместное рассмотрение первой и второй систем дает 9 уравнений с пятнадцатью неизвестными.

Для получения замкнутой системы необходимо еще 6 уравнений, не включающие новых неизвестных.

III. Физические или определяющие уравнения (реолог)

Эта система описывает связи между компонентами напряжения и деформации. Тем самым характеризуются механические свойства деформируемого материала.

Для упругой среды при линейной связи между напряжениями и деформациями имеет место обобщенный закон Гука.

Уравнения включают константы упругости:

Е – модуль упругости первого рода ;

Е – численно это то условное напряжение, при котором длина изменится вдвое то есть ε = 1.

G – модуль упругости II рода (модуль упругости на сдвиг) ;

μ – коэффициент Пуассона безразмерность.

Это коэффициент поперечной деформации. Показывает отношение поперечной деформации к продольной.

μ_ст = 0,3

Для упругих сред указанные константы зависят только от материала.

Получили замкнутую систему уравнений (15) для определения НДС в деформируемой упругой среде.

Для постановки задачи теории пластичности необходимо записать физические уравнения так, чтобы они характеризовали пластическую деформацию (в какой-либо модификации).

Один из удобных вариантов такой записи – это использование вместо констант упругости других величин. Например, для упруго-пластических сред используют модули деформации: E^’, G^’, μ^’.

Эти величины переменные. Они зависят не только от материала, но и от уровня достигнутой деформации.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 197; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!