Применение вариационного исчисления в теории пластичности

В общем случае для отыскания поля напряжений, деформаций или перемещений, необходимо интегрировать дифференциальные уравнения статики и геометрические уравнения с учетом физических связей и граничащих условий.

Однако при этом возникают математические трудности, которые не позволяют получить приемлемого решения и значит сужают круг решаемых задач. Данные методы называются дифференциальными.

Задача интегрирования системы дифуров может быть решена равнозначной задачей, заключающейся в отыскании функции, которая сообщает минимум некоторому интегралу.

Данные методы являются интегральными. Физический смысл этого интеграла

– min – функционал

в теории пластичности заключается в том, что он выражает энергию деформации, а как математический объект интеграл представляет собой функционал вариационного исчисления.

Следовательно задача отыскания функционала становится задачей вариационного исчисления.

1. Принцип минимума полной потенциальной энергии деформации или принцип Лагранжа.

Основным понятием, используемое ниже, является понятие работы внешних и внутренних сил при деформации тела.

Пусть заданные на границе поверхности следующие векторные соотношения.

P_ν – поведение напряжения.

Это внешнее напряжение и его составляющие по координатным осям.

Это перемещение точек граничной поверхности и их составляющие.

Это работа поверхностных (внешних) сил, приложенных к деформируемому телу.

Это работа внутренних сил, возникающих в деформированном теле.

По закону сохранения энергии

А_П = А_В или А_П – А_В = 0

Сумма работ всех внешних сил равна сумме работ всех внутренних сил.

Это выражение является полной работой деформации или полной потенциальной энергией деформации.

Введем такие понятия как:

1. Кинематически возможные поля перемещения – это такие поля перемещений, которые удовлетворяют граничным условиям (условиям закрепления тела) и условиям сплошности (условию неразрывности).

Для каждого конкретного случая существует множество кинематически возможных полей перемещения.

2. Действительные поля перемещений:

Отличаются от кинематических тем, что они удовлетворяют условию равновесия тела.

Действительным полем перемещения является единственное поле, которое наряду с предыдущими условиями обладает условием равновесия и является кинематическим.

, и представляют собой виртуальные поля перемещений. Они характеризуют отклонение множества кинематических полей от действительного поля (единственное поле).

Из механики известен следующий принцип Лагранжа. Если тело находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных перемещениях равна нулю.

Этими возможными перемещениями являются виртуальные перемещения.

Виртуальным перемещениям соответствуют виртуальные деформации. Запишем виртуальную работу внутренних сил.

Значок вариации можно вынести за знак интеграла в том случае, если компоненты напряжений будут постоянными, независимо от вариации деформации.

A_B

Запишем виртуальную работу внешних сил.

А_П

Знак вариации можно вынести за интеграл в том случае, если при варьировании перемещения, внешнее напряжение останется неизменным.

– вариационный принцип Лагранжа.

Это вариационное уравнение, которое выражает принцип Лагранжа.

Первая вариация полной потенциальной энергии деформации равна нулю.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 239; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!