Метод парабол (метод Симпсона)

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b] интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

Формулой Симпсона (см. рисунок 1.5) называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:

где , и — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Рисунок 1.5 - Метод парабол для интервала [a,b] без разбиения

В отличие от методов прямоугольников и трапеций в данном случае подынтегральная функция аппроксимируется полиномом второй степени ( ) не на одном, а на двух соседних участках (рисунок 1.6). Поэтому количество участков, на которые разбивается отрезок , должно быть четным.

Рисунок 1.6 – Метод Симпсона при разбиении интервала интегрирования равномерной сеткой

Погрешность вычисления определенного интеграла с использованием метода Симпсона (метода парабол) можно оценить по формуле:

, (1.16)

где – максимальное значение модуля четвертой производной на участке , т.е. составная формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. Она имеет на отрезке [а, b] четвертый порядок точности (R_n=0(h⁴)).

Из выражений погрешностей видно, что формулы средних прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, т.е. для линейных функций, а формула Симпсона точна для многочленов до третьей степени (для них погрешность равна нулю).

В инженерной практике формулы оценки погрешности не используется так как требует решения дополнительной задачи поиска максимума высших производных подынтегральной функции. Более удобным методом оценки погрешности вычислений определенного интеграла является метод базирующийся на правиле Рунге (правило двойного счёта). Определенный интеграл вычисляется дважды: один раз с шагом интегрирования , а другой раз – с меньшим шагом интегрирования h₂=h₁/2. Соотношение правила Рунге, справедливое для всех способов приближённого вычисления интеграла

,

где S(h/2) и S(h) – приближённые значения интеграла, вычисленные при шагах разбиения отрезка [a, b], отличающихся друг от друга в два раза. Для методов средних прямоугольников и трапеций значение m=2, для метода Симпсона m=4. Исходя из этого, для оценки погрешности вычисленного значения интеграла с выбранным шагом надо повторить вычисления, удвоив величину шага, и воспользоваться приведённым выше соотношением. Если задача требует получение результатов с меньшей погрешностью, чем была получена, то необходимо уменьшить величину шага интегрирования вдвое и повторить вычисления.

Пример 1. Методами прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить в программе Excel интеграл

с шагом интегрирования h = 0.25.

Решение. Одна из возможных реализаций формулы указанных методов приведены на рисунках 1.7 (режим отображения формул) и 1.8 (стандартный режим отображения значений в ячейках Excel)/

Рисунок 1.7 – Фрагмент листа таблицы Excel вычисления интеграла
в режиме отображения формул

Рисунок 1.8 - Фрагмент листа таблицы Excel вычисления интеграла в режиме отображения значений в ячейках

При расчете интегралов использовались следующие формулы:

- в ячейке «F2» задан шаг интегрирования 0,25, который используется в виде абсолютной адресации для расчета аргумента «х» (ячейки А6-А13) и интегралов соответствующих методов (ячейки I15 – L15);

- в ячейку «В2» вводится формула «=1/LOG(A5)» и с помощью автозаполнения копируется в ячейки В6-В13;

- коэффициенты K разных методов создаются копированием числовых констант, за исключением последовательности «4; 2; 4 …» метода парабол. Для генерации такой последовательности удобно ввести формулу «=6-G6» и с помощью автозаполнения скопировавть её в ячейки G8-G12;

- в ячейку «I5» вводится формула «= D5*B5», которая затем копируется вправо и вниз так, чтобы заполнить диапазон I5:L13;

- в ячейку «I15» вводится формула «= $F$2*СУММ(I5:I13)», которая затем копируется вправо до ячейки «L15»;

- в формулу ячейки «K15» добавляется деление шага интегрирования на 2 («= $F$2/2*СУММ(…»), а в ячейке «L15» - деление на 3.

Пример. Вычислить интеграл с точностью ε=0,001.

В Excel вычисление интеграла с заданной точностью, для методов рассмотренных выше, возможно только с применением метода двойного счета реализованного в программе на VBA. Пример такой программы приведен ниже.

Sub Simpson()

a = 2

b = 4

S_old = 10000000000#

n = 2 ' начальное число разбиений

For iter = 1 To 100

S_new = f(a) + f(b)

h = (b - a) / n

E = 4

For i = 1 To n - 1

S_new = S_new + E * f(a + i * h)

E = 6 - E

Next i

S_new = h / 3 * S_new

Eps_abs = Abs(S_old - S_new) / 15

If Eps_abs <= 0.00001 Then Exit For

S_old = S_new

n = n * 2

Next iter

Cells(1,1)="Значени интеграла с точностью 0.001 равно" & Str(S_new)

Cells(3, 1) = "Абсолютная погрешность " & Str(Eps_abs)

Cells(4, 1) = "Количество итераций " & Str(iter)

Cells(5, 1) = "Число разбиений " & Str(n)

Cells(6, 1) = "Шаг разбиения " & Str(h)

End Sub

Function f(x)

f = 1 / Log(x)

End Function

Результат работы программы представлен на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 – Результат выполнения программы Simps

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 1592; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!