Частные производные сложной функции нескольких переменных

Функция называется сложной, если ее аргументы являются в свою очередь функциями каких-либо других переменных, например, , .

Пусть функции , и являются непрерывными и дифференцируемыми. Пусть переменная y является постоянной ( ), а х изменяется и получает приращение Dх. Тогда функции и получают приращения по х соответственно . Так как функция является дифференцируемой, то ее приращение можно представить как линейное выражение относительно приращений независимых переменных

,

где и - бесконечно малые функции более высокого порядка по сравнению .

Найдем

.

Аналогично, в случае, когда х = const, а y получает приращение Dy

,

где и - бесконечно малые функции более высокого порядка по сравнению .

.

Таким образом, в случае сложной функции , , формулы дифференцирования имеют вид

; .

В частном случае, когда , , ,

.

Если , , то

.

Пример 3.16. Найти частные производные сложной функции , .

Находим

.

.

Пример 3.17. Найти производную функции , , .

Находим

.

Пример 3.18. Найти производную функции , .

Находим .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 261; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!