Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Функции двух переменных. Пусть решается задача на условный экстремум
Пусть решается задача на условный экстремум Запишем функцию Лагранжа . Составим систему для нахождения критических точек Пусть в результате решения этой системы найдена критическая точка . Тогда в этой точке равны нулю частные производные , следовательно, и дифференциал первого порядка . Наличие экстремума функции в точке определяется по тому, что является или нет знакоопределенной функцией приращение функции в окрестности этой точки. Ввиду того, что дифференциал первого порядка в этой точке равен нулю, в первом приближении . Если в критической точке , то и точка является точкой минимума. Если же , и точка является точкой максимума. Дифференциал второго порядка функции трех переменных является квадратичной формой относительно . . В матричной записи этот дифференциал имеет вид . Данную квадратичную форму можно исследовать на знакоопределееность с помощью критерия Сильвестра. Согласно данному критерию, для того чтобы квадратичная форма была знакоположительной в некоторой d-окрестности точки , т.е. , должны быть положительными все три главных минора матрицы этой формы. , , . В этом случае функция будет иметь минимум в точке . Для того чтобы квадратичная форма была знакоотрицательной в некоторой d-окрестности точки , т.е. , должны быть отрицательными первый и третий главные минора матрицы, а второй минор - положительный. . , . В этом случае функция будет иметь максимум в точке . В более удобном виде достаточный признак на условный экстремум функции двух переменных в критической точке записывают в виде одного определителя
.
Если D > 0, то - точка минимума, если D < 0, то - точка максимума. Пример 3.27. Найти наибольший объем и длину ребер прямоугольного параллелепипеда, если его полная поверхность равна 2а. Обозначим длины ребер параллелепипеда через x, y, z. Тогда его объем , а полная поверхность равняется . Поделим это равенство на 2, получим уравнение , которое является ограничением при нахождении максимального объема параллелепипеда. Таким образом, задача формулируется следующим образом. Найти максимум функции при условии, что ее переменные удовлетворяют уравнению . Запишем функцию Лагранжа . Составим систему уравнений для нахождения критических точек. Умножим первое уравнение на х, второе на y, а третье на z и сложим, получим Подставим это значение l в систему уравнений и поделим первое уравнение на yz, второе на xz, а третье на xy. . Отсюда получаем , , . Из равенства получаем . Так как все ребра параллелепипеда равны , то объем .
Пример 3.28. Найти условные экстремумы функции при (Рис. 54). Рис. 54
Запишем функцию Лагранжа . Составим систему для нахождения критических точек Из первого и второго уравнений найдем . Из третьего уравнения получим . Тогда , . Критические точки , исследуем на экстремум по достаточному признаку. Найдем частные производные второго порядка: , , , , , . Вычисляем значения этих производных в критической точке и составляем определитель D.
, , ,
, , .
. Следовательно, в точке функция имеет локальный максимум. Вычисляем значение функции в этой точке . Вычисляем значения производных функции в критической точке и составляем определитель D.
, , ,
, , .
. Следовательно, в точке функция имеет локальный минимум. . О т в е т. в точке ; в точке .
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 334; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |