Вычислив интегралы, находим

.

Заменив в силу произвольности на и выполнив элементарные преобразования, получим

.

Подставив в последнее уравнение по формуле (2.10), находим общий интеграл исходного уравнения

. (2.12)

Найдем решение задачи Коши . Уравнение для нахождения C получаем из условия (2.11), подставив в уравнение (2.12) и ,

.

Отсюда . Подставляя найденное в общее решение (2.12), получим решение задачи Коши в неявной форме, т.е. интеграл задачи Коши

.

4⁰. Линейные уравнения первого порядка . Уравнения Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

. (2.13)

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

, (2.14)

где и .

В уравнениях (2.13), (2.14) и - заданные функции , зависящие от .

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью стандартной подстановки

, (2.15)

где и - неизвестные функции. Выполнив подстановку (2.15) в уравнение (2.13), получим уравнение

или . (2.16)

При построении общего решения будем предполагать, что функция зависит только от , то есть , а функция зависит от и , то есть .

Уравнение (2.16) содержит две неизвестные функции. Введем дополнительное условие для определения одной из них. Функцию v будем находить из следующего условия

. (2.17)

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 193; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!