Для того чтобы уравнение (2.20) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия

. (2.23)

Если условие (2.23) выполняется, то функцию можно определить из условий (2.21). Интегрируя первое соотношение (2.21) по переменной , находим

. (2.24)

где - неизвестная функция , зависящая от . Уравнение для нахождения получается при подстановке по формуле (2.24) во второе условие (2.21).

Пример 2.4 Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Сначала найдем общее решение уравнения.

; .

Найдем частные производные

; .

Таким образом, условие (2.23) выполняется, и уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Запишем условия (2.21)

и .

Тогда интегрируя по первое соотношение (при этом играет роль константы), находим

.

Дифференцируя последнее выражение по , получим

.

С другой стороны, из второго условия (2.21)

.

Приравнивая правые части полученных равенств, находим уравнение для определения

или .

Тогда . Полагая и подставляя в выражение для функции , находим

.

Общий интеграл имеет вид

.

Подставляя в последнее уравнение из начального условия и , находим, что . Тогда решение уравнения ,удовлетворяющее начальному условию, имеет вид

.

§3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные определения

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется выражение вида

, (3.1)

где независимая переменная, - неизвестная функция, зависящая от , - производные функции до -го порядка включительно. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной.

Основные определения для уравнений высших порядков рассмотрим на примере уравнений второго порядка.

Уравнение второго порядка имеет вид

. (3.2)

Определение1.Решением дифференциального уравнения (3.2) называется дважды непрерывно-дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (3.2) обращает его в тождество.

Рассмотрим следующую задачу - найти решение уравнения (3.2), удовлетворяющее условиям:

и . (3.3)

Рассмотренная задача называется задачей Коши для уравнения (3.2). Условия (3.3) называются начальными условиями .

Определение2. Решение уравнения (3.2), удовлетворяющее начальным условиям (3.3), называется решением задачи Коши.

Определение3. Общим решением уравнения (3.2) называется функция , зависящая от независимой переменной и двух произвольных постоянных и , удовлетворяющая следующим условиям:

1) при любых и эта функция является решением уравнения (3.2);

2)уравнения

и (3.4)

разрешимы относительно и при любых начальных данных .

Определение4.Частным решением уравнения (3.2) называется любое решение,полученное из общего при конкретном выборе произвольных постоянных и .

§4.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (4.1)

где и - заданные числа, а - заданная функция .

Если , то есть

, (4.2)

то уравнение называется линейным однородным. В противном случае, то есть если , уравнение называется линейным неоднородным. Введем следующие обозначения:

- общее решение неоднородного уравнения (4.1),

- общее решение однородного уравнения (4.2),

- какое-либо частное решение неоднородного уравнения (4.1).

Тогда справедлива теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения:

. (4.3)

1⁰. Построение общего решения линейного однородного уравнения

Рассмотрим однородное уравнение (4.2). Справедлива теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения :

, (4.4)

где и - любые линейно независимые решения однородного уравнения.

Характеристическим уравнением для уравнения (4.2)будем называть следующее алгебраическое уравнение:

. (4.5)

Его коэффициенты совпадают с коэффициентами при в уравнении (4.2).

Уравнение (4.5) является квадратным уравнением относительно и имеет два корня (с учетом кратных и комплексных). Обозначим его корни через и .

Вид функций и , входящих в общее решение, зависит от типа корней характеристического уравнения. Возможны следующие случаи:

1. и вещественны и различны, то есть ,

2. и вещественны и равны, то есть ,

3. и - комплексные корни , где - вещественная часть, а - мнимая часть комплексного числа.

Общее решение для каждого случая соответственно имеет вид:

1. ,

2. ,

3. .

Пример 4.1. Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим , . Найденные корни вещественны и различны (случай 1). Тогда получим .

Пример 4.2 Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим (случай 2). Тогда общее решение имеет вид .

. Пример 4.3 Найти общее решение уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид . Отсюда находим . Корни комплексные. , (случай 3). Общее решение имеет вид .

2⁰. Построение частного решения линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

Для некоторых видов неоднородных уравнений (4.1) по виду правых частей можно определить вид частного решения с точностью до неизвестных коэффициентов, а затем , подставив частное решение в уравнение (4.1), получить систему для нахождения этих коэффициентов.

Рассмотрим стандартные виды правых частей и соответствующие им виды частных решений:

1. , то есть - многочлен степени n.

1.а. Если число не является корнем характеристического уравнения (4.5), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

,

где - неизвестные коэффициенты.

1.b Если число является корнем характеристического уравнения (4.5) кратности ( может принимать значения 1 или 2), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

.

2. , то есть - произведение на многочлен.

2.a Если число (коэффициент при в показателе степени у ) ,

не является корнем характеристического уравнения (4.5), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

.

2.b Если число является корнем характеристического уравнения (4.5) кратности ( может принимать значения 1 или 2), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

.

3. .

3.a Если число ( -коэффициент при в показателе степени у , -коэффициент при у синуса и косинуса) ,

не является корнем характеристического уравнения (4.5), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

,где .

3.b Если число является корнем характеристического уравнения (4.5) (кратность этого корня может быть равной только 1 , так как характеристическое уравнение второй степени ), то частное решение уравнения (4.1) ищется в виде

Пример 4.4 Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям , .

Характеристическое уравнение имеет вид .Отсюда находим , . Тогда общее решение однородного имеет вид . Правая часть исходного уравнения является многочленом второй степени. При этом не является корнем характеристического многочлена (случай 1.a). Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

Находим производные. , .

Подставляя в исходное уравнение, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, находим систему для определения

.

Отсюда , , . Тогда . Используя формулу (4.3), получим общее решение неоднородного уравнения

.

Найдем решение задачи Коши .

.

Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения и

.

Отсюда ; . Подставив найденные и

в общее решение, окончательно получим решение задачи Коши

.

Пример 4.5 Найти решение уравнения ,

удовлетворяющее начальным условиям , .

Характеристическое уравнение имеет вид .Отсюда находим , . Тогда общее решение однородного имеет вид . Правая часть исходного уравнения является произведением многочлена первой степени на .При этом является корнем характеристического многочлена кратности (случай 2.b). Поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

.

Находим производные.

,

.

Подставляя в исходное уравнение и выполнив элементарные преобразования, получим

.

Поделив обе части уравнения на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, находим систему для определения и

.

Отсюда , . Тогда . Используя формулу (4.3), получим общее решение неоднородного уравнения

.

Найдем решение задачи Коши .

.

Удовлетворяя начальным условиям, получим систему для определения и

.

Отсюда , . Подставив найденные С₁ и С₂ в общее решение, окончательно получим решение задачи Коши

.

§5. Построение решения задачи Коши линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами операционным методом

При построении решения задачи Коши операционным методом используют преобразование Лапласа [1], которое функции вещественной переменной по определенному правилу ставит в соответствие функцию комплексной переменной . Функция называется оригиналом , а функция - изображением. При этом используется следующее обозначение:

. (5.1)

Последняя запись означает, что функция имеет изображение . Составлены специальные таблицы оригиналов и изображений [1].

Справедливо свойство линейности изображения: если и , то для любых чисел и .

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(5.2)

и начальные условия

и . (5.3)

Обозначим через решение уравнения (5.2), удовлетворяющее начальным условиям (5.3), а через - его изображение.

Справедливы следующие формулы для изображений производных функции :

, . (5.4)

Преобразование Лапласа переводит дифференциальное уравнение в следующее уравнение:

(5.5)

В уравнении (5.5) - изображение ; - изображение функции , которое определяется по таблице оригиналов и изображений. Уравнение (5.5) является алгебраическим уравнением относительно . Из этого уравнения определяют как функцию, зависящую от , а затем по таблице оригиналов и изображений находят искомое решение задачи Коши .

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 275; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!