Дифференцируемость функции

Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), x - некоторое фиксированное значение аргумента xÎ(a,b), Dx - любое приращение аргумента такое, что (x+Dx) Î (a,b).

Определение.Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение Dy этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента Dx, может быть представлено в виде

Dy=АDx+a×Dx, (1)

где А - некоторая константа, не зависящая от Dx, а a- функция от Dx (a(Dx)), являющаяся бесконечно малой при Dx®0.

Замечание 1.При Dx=0 функция a(Dx), вообще говоря, не определена, поэтому в этой точке для удобства припишем значение a(0), равное нулю. В этом случае функция a(x) станет непрерывной в точке Dx=0, и равенство (1) можно распространить на значение Dx=0.

Замечание 2.Так как a(Dx) и Dx - бесконечно малые функции в точке Dx=0, a(Dx)×Dx=о(Dx), тогда

Dy=ADx+о(Dx). (2)

Теорема 1.Для того, чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой в точке x (символическая запись: , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Необходимость.Пусть функция y= , тогда .

Отсюда .

Достаточность.Пусть функция y=f(x) имеет в данной точке x конечную производную, т.е. существует , тогда - бесконечно малая при Dx®0 (см. теорему 1 п.3.11).

Отсюда , где , и если обозначить через А, то Dy=АDx+a×Dx.

Замечание 3.Доказанная теорема позволяет в дальнейшем отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной точке и наличие у этой функции в данной точке конечной производной.

Теорема 2.Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 204; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!