Теорема. 1) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0

Пусть функция y=f(x).

1) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x₀.

2) в точке x₀ существует отличная от 0 производная Тогда и обратная функция имеет производную в точке причем

Раскроем геометрический смысл этого положения.

Рассмотрим в окрестности x=x0 график функции y=f(x). Если провести касательную к графику в точке М(x0,y0), то (a - угол наклона касательной к положительному направлению оси Оx). (b- угол наклона той

же касательной к положительному направлению оси Оy).

Поскольку формула выражает очевидный факт:

Используя эту теорему, можно получить производные следующих элементарных функций, являющихся строго монотонными в области их определения.

8. Функция является обратной для логарифмической функции , определенной на полупрямой y>0. Поскольку в окрестности любой точки y выполнены условия теоремы, то

Итак, При а=е, получим .

9. y=arcsinx, Будем рассматривать интервал В этом случае Так как

Итак, .

10. Аналогично этому .

11. y=arctgx и если -¥< x <+¥; x=tgy, тогда

12. По аналогии с предыдущим

Сведем теперь в единую таблицу производные элементарных функций.

1. в частности, .

2. В частности

3. В частности .

4.

5.

6. .

7. .

8.

9.

10.

11.

По определению, гиперболическим синусом (shx), косинусом (chx), тангенсом (thx) и котангенсом (cthx) называются функции

производные которых вычисляются по следующим формулам:

13.

14.

15.

16. (x¹0).

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 221; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!