Дифференциал независимой переменной

Под дифференциалом dx независимой переменной x понимают любое, не зависящее от x, число, поэтому, по определению, дифференциалом независимой переменной x называют ее приращение Dx, т.е. полагают, что dx=Dx.

Введенное определение оправдывается следующими рассуждениями.

Рассмотрим независимую переменную x как функцию вида y=x, тогда .

Таким образом, если аргумент x функции y=f(x) является независимой переменной, то

Замечание. есть число, а - отношение неопределенных чисел dy и dx, которые изменяются пропорционально c коэффициентом пропорциональности .

1.5.10. Инвариантность формы первого дифференциала

В предыдущем пункте было показано, что если x есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f’(x)dx. Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент x является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция Рассмотрим сложную функцию y=f[j(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую переменную, то по определению дифференциала функции (1)

Аналогично этому (2)

Используя теорему о сложной функции : равенство (1) можно переписать в виде и из (2) имеем

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме , будет ли x независимой переменной или нет; разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение Dx, а дифференциал x как функции от t.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 208; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!