Понятие непрерывности функции в точке

Постановка задачи. Пользуясь определением, доказать, что функция непрерывна в точке .

План решения.

Функция называется непрерывной в точке , если : . Это значит, что неравенство имеет решение .

Задача 8. Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ).

Покажем, что при любом найдется такое , что при .

Имеем

.

Следовательно

,

.

Т.е. неравенство выполняется при .

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

1. Возможны три случая.

1) Если , то функция непрерывна в точке и

.

2) Если и , то

.

3) Если и , то разлагая многочлены на множители, получаем

,

где и .

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение, равное , то в последнем случае можно сократить множитель . Получаем

.

Замечание. Если число является кратным корнем многочленов и , то , и

,

где и . В зависимости от чисел и получим один из трех перечисленных в первом пункте случаев.

Задача 9. Вычислить пределы функций.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 10.Вычислить пределы функций.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 11. Вычислить пределы функций.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 193; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!