Методы, использующие производные целевой функции

Схема исследования функций на экстремумы должна содержать последовательность действий для изучения роста и отыскания экстремумов непрерывной функции f(x) в заданном интервале, который может быть нам конечным, так и бесконечным. Для определенности будем считать, что функция y=f(x) имеет производную всюду, за исключением, может быть, отдельных точек. Алгоритм исследования содержит следующие процедуры.

1. Прежде всего, нужно найти точки интервала, в которых производная равна нулю (стандартные точки), т.е. действительные корни уравнения f’(x)=0, а также те точки, в которых производная не существует. Обозначим все найденные точки в порядке возрастания через x₁, x₂,…., x_n.Таким образом, x₁ x₂ … x_n .Это те точки интервала, в которых функция f(x) может иметь экстремумы. Иногда их называют критическими.

2. Затем разбиваем при помощи точек x_i весь заданный интервал [a;b] на частные интервалы: (a,x₁),(x₁,x₂)…,(x_n-1,x_n),(x_n,b), в каждом из которых производная сохраняет постоянный знак. Это операция носит название- проверка монотонности функции интервала.

3. Находим знак производной в каждом из частных интервалов, для чего достаточно узнать ее знак в какой-нибудь одной точке интервала. По знаку производной определяем характер изменения функции в каждом интервале монотонности, т.е. возрастание или убывание. Следя за знаком производной при переходе через границы интервалов монотонности, выясняем, какие из этих точек будут точками max или min.

4. Подстановкой в выражение функции f(x) критических значений x=x_i находим соответствующее значение функции f(x₁), f(x₂),…,f(x_n). Как уже отмечалось, не всегда эти функции могут иметь экстремальное значение (рис.9).

Результаты исследований целесообразно свести в таблицу (1).

Таблица 1

x	a	a x x1	X1	X1 x x2	X2	X2 x b	b
y	f(a)	возрастает	f(x1)	убывает	f(x2)	убывает	(b)
y’		+		-		-

Для примера рассмотрим функцию y=3x³+4.5x²-4x+1.

Эта функция имеет непрерывную производную на всей оси x..

Находим производную y’=9x²+9x-4=(3x-1)(3x+4).Отсюда видно, что производная равна нулю при x= и x=- .Так как при x - оба сомножителя отрицательны, то производная при этих значениях x положительна и, следовательно, функция возрастает. При - производная отрицательна- функция убывает, а при x производная снова положительна и функция возрастает. Таким образом, x=- есть точка максимума, а x= -точка минимума и мы имеем три интервала монотонности: от -∞ до - -интервал возрастания, от - - интервал убывания и от - интервал возрастания. Вычислим значения функции в точках экстремума и составим таблицу поведения функции:

Таблица 2

x	-	-
y		возрастает	7 max	убывает	min	возрастает
y’	-	+		-		+

По таблице можно составить график

Y

- 7

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1 x

- -1 0 1

Рис. 9. График функции y=3x³+4.5x²-4x+1

Описанная выше схема исследования функции и алгоритм вычислений представляет собой типичный метод, использующий производные целевой функции. Эти методы являются предпосылкой для рассмотрения прямых методов оптимизации.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 149; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!