Графическая и экономическая интерпретация задач оптимизации

Рассмотрим задачу планирования производства, иначе - задачу об использовании ресурсов в линейной обстановке.

В обобщенной постановке задача имеет вид:

Найти такой план x выпуска продукции, удовлетворяющий системе:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n b₁

a₂₁x₂+a₂₂x₂+…+a_2nx_n b₂ (9)

……………….

a_n1x₁+a_n2x₂+…+a_nnx_n b_n

и условий X₁ 0, X₂ 0…..,X_n 0 ,

при которых функция F=с₁х₁+с₂х₂+…+с₄х₄ принимает максимальное значение.

Это и есть общая задача линейного программирования, где F есть линейная функция, линейная форма, целевая функция или функция цели. Если система ограничений состоит из неравенств, то задача называется стандартной, если из равенств, то задача называется канонической. Любая форма линейного программирования может быть сведена к канонической, стандартной или общей формам.

Рассмотрим пример.

Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используют четыре вида ресурсов S₁, S₂, S_3, S₄. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице 3.

Таблица 3

Прибыль получаемая от реализации продукции Р₁ и Р₂ соответственно 2 и 3 рубля. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим х₁ и х₂ – число единиц продукции соответственно, Р₁ и Р₂ запланированных к производству. Для их изготовления (см. таблицу) потребуется(1х₁ +3х₂) единиц ресурса S₁, (2х₁+1х₂) единиц ресурса S₂, (1х₂)- единиц S₃ и (3х₁)- единиц ресурсовS₄.Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасы , то связь между ними можно выразить с помощью следующих неравенств.

Очевидно, что при F=0 линия уровня 2х₁+ 3х₂=0 проходит через начало координат (строить ее необязательно). Зададим, например F=6 и построим линию уровня 2х₁+ 3х₂=6. Ее расположение в плоскости ОХ₁Х₂ указывает на направление возрастания линейной функции( вектор ). Так как по условию задачи необходимо найти максимум, то как следует из графика он должен находится в угловой точке С, находящейся на пересечении прямых ׀ и ׀׀. Это означает, что координаты точки С определяются решением системы

х₁+ 3х₂=18

2х₁+х₂=16,

откуда х₁=6, х₂=4;т.е. С(6;4).

Максимум линейной функции равен F=2 6 + 3 4 =24. Итак, F_max =24 при оптимальном решении х₁=6, х₂=4, т.е. максимальная прибыль в 24 рубля может быть достигнута при производстве Р₁=6 и Р₂=4. В этой задаче max F достигался в одной точке и задача имела одно оптимальное решение (рис.19).

8

6 A B

4 C

2 D E F=F_max=24

X₁

0 2 4 6 F=8

F=6

Рис. 16. Многоугольник ограничений

Между тем в экономической практике нередко встречаются задачи, в которых эти условия не удовлетворяются, т. е. может наблюдаться не одно, а множество решений, которые требуют тщательного рассмотрения конкретных ситуаций.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 235; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!