Метод множителей Лагранжа, их экономический смысл

Еще один способ определения условного экстремума начинается с построения вспомогательной функции Лагранжа, которая в области допустимых решений достигает максимума для тех же значений переменных х₁, х₂, …,х₄, что и целевая функция.

Пусть решается задача определения условного экстремума функции Z=f(x) при ограничениях _I(х_1, х₂, …,х_n)=0, i= , n>m, которые называются уравнениями связи. Составим функцию L(x)=f(х)+ которая называется функцией Лагранжа.

- множители Лагранжа.

Отметим , что множителям Лагранжа можно придать экономический смысл. Если f(х_1,х₂,…,ах_n)- доход , соответствующий плану Х=(х₁,х₂,…ах_n), а функция (х₁, х₂,…ах_n)- издержки i-го ресурса, соответствующие этому плану, то - цена (оценка) i-го ресурса , характеризующая изменение экстремального значения целевой функции в зависимости размера i-го ресурса..

L(x)- функция n+m переменных (х₁,х₂,…,х_n, ₁, ₂,.., _m) определение стандартных точек этой функции приводит к решению системы уравнений

=0, i= (10)

=0,I=

Легко заметить, что L’ (x)= (x) → L’ (x)=Y_i(x) ,т.е. в последнюю систему уравнений входит уравнение связи. Таким образом, задача нахождения условного экстремума функции Z= f(x) сводится к нахождению локального экстремума функции L(x). Если стационарная точка обнаружена, то вопрос о существовании экстремума в простейших случаях решается на основании достаточных условий экстремума – исследования знака второго дифференциала d² L (x) в стационарной точке.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 240; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!