Первое уравнение Максвелла

Первое уравнение выводится на основе закона полного тока:

. (5.16)

Этот закон является основным законом, устанавливающим связь между магнитным полем и электрическим током. Он гласит: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур интегрирования. Графическая иллюстрация этого закона приведена на рис. 5.2. На этом рисунке изображен контур, расположенный в магнитном поле. Этот контур пронизывается током I. Для одной из точек контура изображен вектор напряженности магнитного поля H. Выделим бесконечно малый отрезок контура в окрестностях рассматриваемой точки и обозначим его вектором dl, проведенным по касательной к контуру. В пределах бесконечно малого отрезка dl вектор Н изменяется бесконечно мало. Подинтегральное выражение в законе полного тока представляет собой скалярное произведение векторов. Преобразуем левую часть уравнения по теореме Стокса:

. (5.17)

Правая часть полученного уравнения представляет собой поток ротора вектора напряженности магнитного поля сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования. Правая часть закона полного тока может быть развернута следующим образом:

. (5.18)

Тогда закон полного тока запишется в виде

. (5.19)

Так как это равенство справедливо для всех значений интеграла, то подинтегральные функции равны между собой, т.е.

. (5.20)

Это есть первое уравнение Максвелла или закон полного тока в дифференциальной форме. Здесь δ = δ_пр + δ_пер + δ_см - плотность тока проводимости, плотность тока переноса, и плотность тока смещения соответственно. Здесь δ_пр = γЕ – плотность тока проводимости, δ_пер – плотность тока переноса, δ_см = dD/dt – плотность тока смещения. Ток проводимости и ток переноса не могут существовать в одной точке одновременно. Поэтому остается δ = δ_пр + δ_см . Тогда первое уравнение Максвелла примет окончательный вид:

. (5.21)

Это дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения магнитного поля в пространстве (слева пространственные координаты) со скоростью изменения электрического поля во времени. Оно имеет, как и все дифференциальные уравнения, бесчисленное множество решений. Нужное решение может быть найдено с учетом начальных и граничных условий.

Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 240; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!